Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 245Satz 9.40Es sind für x ∈ Z folgende Aussagen äquivalent:(a) x ist Ecke von Z.(b) Die Vektoren a j ,j ∈ I(x), sind linear unabhängig.Zusatz: Ist rg(A) =m, dann ist (b) auch zur Aussage(c) Es gibt µ 1 ,...,µ m ∈{1,...,n} mit rg(a µ 1|···|a µm )=m und x jj/∈{µ 1 ,...,µ m }=0füräquivalent.Beweis:(a) =⇒ (b)O.E. können wir annehmen I(x) ={1,...,r} mit r ≥ 1. Wegen x ∈ Z gilt die Beziehungr∑a ij x j = b i , 1 ≤ i ≤ m.j=1Annahme: a 1 ,...,a r sind linear abhängig. Dann gibt es also α 1 ,...,α r ∈ IR mitr∑r∑α j a j = θ, α 2 j ≠0.j=1j=1Da für j ∈{1,...,r} ja x j > 0 gilt, gibt es ɛ>0mitx j ± ɛα j > 0 , 1 ≤ j ≤ r.Setzey + := (x 1 + ɛα 1 ,...x r + ɛα r , 0,...,0),y − := (x 1 − ɛα 1 ,...,x r − ɛα r , 0,...,0).Dann haben wiry + ≥ θ, y − ≥ θundn∑r∑r∑r∑a j y j ± = a j y j ± = a j x j ± ɛ α j a j = b.j=1j=1j=1j=1Also sind y ± ∈ Z und 1 2 (y+ + y − )=x.Da y ± ≠ x, ist dies ein Widerspruch zur Tatsache, daß x Extremalpunkt von Z ist.(b) =⇒ (a)Sei o.E. I(x)={1,...,r}. Betrachte eine Darstellungx = ay +(1− a)z,y,z ∈ Z, a ∈ (0, 1),von x. Offensichtlich gilt dann I(x) =I(y) ∪ I(z). Wegen Az = b = Ay folgt darausn∑r∑θ = a j (y j − z j )= a j (y j − z j )j=1j=1