Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 131B p−1 x p,p,j = x p,1,jx p,p−1,j := Bx p,p,jB p−2 x p−1,p−1,j = x p−1,1,jx p,p−2,j := B 2 x p,p,j x p−1,p−2,j := Bx p−1,p−1,j B p−3 x p−2,p−2,j = x p−2,1,j...x p,2,j := B p−2 x p,p,j x p−1,2,j := B p−2 x p−1,p−1,j x p−2,2,j := B p−2 x p−2,p−2,jx p,1,j , 1 ≤ j ≤ l p x p−1,1,j , 1 ≤ j ≤ l p−1 x p−2,1,j , 1 ≤ j ≤ l p−2 ... x 1,1,j , 1 ≤ j ≤ l 1S p S p−1 S p−2 ... S 1β p β p−1 β p−2 ... β 1Beachte, daß nach Konstruktion β := ∪ p i=1β i eine Teilmenge von Kern(B p )ist.Ergänze β durch eine Basis β 0 := {x 0,0,j |j =1,...,l 0 } von Bild(B p ). Damit haben wirnun β p ,...,β 1 ,β 0 gewählt.Wir habenp∑ p∑ t∑ p∑ p∑ p∑tl t = l t = l j = dim S j .t=1Nun gilt mit Folgerung 4.20t=1 j=1j=1 t=jdim S j =dim(Bild(B j−1 ) ∩ Kern(B)) = dim Kern(B j ) − dim Kern(B j−1 ) ,j=1,...,p,alsop∑l 0 + dim(S j )=dim IK Bild(B p )+dim IK Kern(B p )=dim IK IK n,1 .j=1Aus der Dimensionsformel 4.39 folgt, daß wir nun eine Basis von IK n,1 haben, wenn dieso gefundene Menge von Vektoren linear unabhängig ist. Seif +p∑t∑l t ∑t=1 i=1 j=1j=1d t,i,j x t,i,j = θ (5.6)mit f ∈ Bild(B p ). Wende B p auf (5.6) an. Dann folgt B p (f) =θ aus der Konstruktionvon β p ,...,β 1 . Da wegen B p (Bild(B p )) = Bild(B p )B p | Bild(B p ) : Bild(B p ) −→ Bild(B p ) ,surjektiv und damit auch injektiv ist, ist Kern(B p | Bild(B p ))={θ}. Also ist f = θ. Wendenun sukzessvie B k ,k = p − 1,...,1 auf (5.6 ) an. Wir erhalten so, daß alle Koeffizientend t,i,j der Linearkombination verschwinden. Damit ist die lineare Unabhängigkeit gezeigt.Betrachte nun G := B| Bild(B p ). Wegen Bild(B p+1 )=Bild(B p )habenwirG : Bild(B p ) −→ Bild(B p ).