Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 153u 1 := w 1 −v 1 einerseits v+u 1 ∈ A 1 (v) und andererseits v+u 1 = w+v 2 −w 2 +v 1 +u 1 −w 1 =w +(v 2 − w 2 ) ∈ A 2 .Damit ist (a) bis auf die Eindeutigkeit schon klar. Diese folgt sehr schnell aus der Tatsache,daß U 1 ∩ U 2 = {θ} ist.(b) ergibt sich aus der Definition von x v .Die Abbildung f aus Satz 6.29 nennt man Parallelprojektion von X auf A 2 längs A 1 .Definition 6.30Sei X ein reeller Vektorraum.Eine Abbildung : X ×X −→ IR heißt Skalarprodukt (auf X), wenn folgendeBedingungen erfüllt sind:(1) =0 ⇐⇒ x = θ. (Definitheit)(2) =< y,x>für alle x, y ∈ X. (Symmetrie)(3) = a+b für alle a, b ∈ IR,x,y ∈ X.(Linearität)Der Raum X zusammen mit dem Skalarprodukt < ·, · > heißt dann euklidischerRaum.2In der affinen Sprache heißt ein reeller Vektorraum zusammen mit einem Skalarproduktein affiner euklidischer Raum. Wir gehen in Kapitel 8 näher auf euklidische Räumeein.Bemerkung 6.31Zur Formulierung der klassischen Mechanik, wie sie von Isaac Newton (1643 – 1727) begründetwurde, sind Aussagen und Annahmen über das Raum–Zeitkontinuum zu treffen.Bewegung eines Massenpunktes wird im Ortsraum IR 3 formuliert, Bewegungen sind immerrelative Bewegungen von (mindestens zwei) physikalischen Systemen zu verstehen.Nur die Angaben der relativen Positionen (Teilchen A zu Teilchen B, Teilchen A zu BeobachterB) zu jedem festen Zeitpunkt ist physikalisch sinnvoll.Die Mechanik geht aus von der Annahme, daß physikalische Bewegung eines Massenpunktesin einem Raum stattfindet, der die Struktur eines dreidimensionalen euklidischenRaumes besitzt. Der Bewegungsraum des Teilchens ist also ein affiner Raum, wie es derphysikalischen Anschauung entspricht: Die Angabe einer einzigen Position x(t) zurZeitist nicht sinnvoll, wohl aber die Angabe von x(t) relativ zur Position y(t) eines Beobachterszur selben Zeit. Versieht man den affinen Raum mit einem Ursprung, d.h. definiertman einen Nullpunkt z.B. durch Vorgabe eines Beobachters, so wird daraus wieder derdreidimensionale reelle Vektorraum IR 3 . 26.4 Projektive Räume und projektive AbbildungenDie affine Geometrie hat ihren Ursprung in der Parallelprojektion. Eine weitere Projektionsart,die von Interesse ist und in der Natur etwa bei Abbildungen des Raumes mit