Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 5Als Kurznotation verwenden wir (A Menge):A 1 := A, A n+1 := A × A n ,n∈ IN .Hierbei haben wir die induktive Definition verwendet:Induktiver Beginn: A 1 := A.Induktiver Schluß: (A n definiert =⇒A n+1 := A × A n ist definiert)Diese Art zu definieren basiert auf der vollständigen Induktion, die wir hier ohneweitere Erläuterung anführen, eine intensive Beschäftigung damit findet in der Analysisstatt:Eine Aussage A(n) istfür alle n ∈ IN wahr, wenn gilt:• A(1) ist wahr ;• Für alle k ∈ IN gilt:Ist A(k) wahr, dann ist A(k + 1) wahr.(Induktionsbeginn)(Induktionsschluß)Beispiel 1.3Beweise, daß für jede natürliche Zahl n gilt:Wir betrachten dazu die Aussage(n +3) 2 > 3(n +3)+nA(n) : (n +3) 2 > 3(n +3)+nund beweisen die Gültigkeit der Aussage für jedes n ∈ IN nach dem Induktionsprinzip.Induktionsbeginn: A(1) ist wahr, da 4 2 > 12 + 1 ist.Induktionsschluß: Sei A(n) wahr.((n +1)+3) 2 = ((n +3)+1) 2= (n +3) 2 +2(n +3)+1> 3(n +3)+n +2(n +3)+1> 3(n +3)+n +1+3= 3(n +4)+n +1Also folgt aus der Gültigkeit der Aussage A(n) dieGültigkeit der Aussage A(n +1).Die Aussage A(n) ist nach dem Induktionsprinzip nun für alle n ∈ IN bewiesen.Man sieht, daß die Ungleichung(n +3) 2 > 3(n +3)+n, n∈ IN ,direkt auch ohne den Rückgriff auf das Induktionsprinzip bewiesen werden kann!Die Aufgabe kann offenbar auch so formuliert werden: BeweiseA ′ (n) : n 2 > 3n + n − 3 ,n∈ IN ,n>3 .