Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 182(R10) |x × y| = |x||y| sin(θ),= |x||y| cos(θ), 0 ≤ θ ≤ π.Bemerkung 7.35IR 3 zusammen mit der Vektoraddition und dem Kreuzprodukt als “Multiplikation“ isteine nichtkommutative Algebra, die statt assoziativ zu sein, die Jakobi – Identität (R5)erfüllt. Eine solche Algebra heißt Lie–Algebra. 2Von der Orientierung der Basen gelangt man zu einem orientierten Volumen von Parallelepipeds.Ein solches Parallelepiped wird aufgespannt durch eine Basis x 1 ,...,x n gemäß⎧⎫⎨ n∑⎬P := a⎩ j x j |0 ≤ a j ≤ 1, 1 ≤ j ≤ n⎭ .j=1Das Volumen von P ist gegeben durch det(x 1 |···|x n ) und wir sehen, daß es positiv ist,falls die Standardbasis {e 1 ,...,e n } und die Basis {x 1 ,...,x n } gleichorientiert sind.7.6 Anwendung: Gleichungen der Mechanik *An den Anfang der eines kurzen Abrisses der Mechanik sollten wir Newtons Grundgesetzein ihrer ursprünglichen Formulierung stellen:• Jeder Körper verharrt in seinem Zustand der Ruhe oder der gleichförmig geradlininigenBewegung, wenn er nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird,seinen Bewegungszustand zu ändern.• Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportionalund geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jeneKraft wirkt.• Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung gleich; oder die Wirkungen zweier Körperaufeinander sind stets gleich und von entgegengesetzter Richtung.Mit Körper sind zunächst Massenpunkte, das sind punktförmige Teilchen, gemeint. Fürdie folgenden Betrachtungen sehen wir von der räumlichen Ausdehnung eines physikalischenKörpers/Massenpunktes zunächst also ab.Für die Beschreibung der Bewegung des Massenpunktes – wir sprechen von Bewegung,wenn sich im Ablauf der Zeit die Koordinaten des Körpers in einem gewählten Koordinatensystemändern – wählen wir ein geeignetes Koordinatensystem, etwa die drei Kantendes Labors, die in einer Ecke als Ursprung zusammenstoßen; siehe Bemerkung 6.31.Die Zeit spielt in der nichtrelativistischen Mechanik eine Sonderrolle. Die tägliche Erfahrungsagt uns, daß die Zeit universell zu sein scheint, d.h. daß sie unbeinflußt von denphysikalischen Gesetzen abläuft. Wir beschreiben die Zeit durch einen eindimensionalenaffinen Raum oder, nach Wahl eines Nullpunktes, durch die reelle Gerade IR .Sind P (t) ∈ IR 3 die Koordinaten des Massenpunktes zur Zeit t, so heißt−→r(t) :=OP(t)