Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 19Interessanterweise kann man in ZZ m sogar wieder addieren (Operation ⊕) und multiplizieren(Operation ⊙):[k] ⊕ [l] :=[k + l] , [k] ⊙ [l] :=[k · l] ,k,l∈ ZZ .Beachte, daß hier wieder nachgeprüft werden muß, daß[k] ⊕ [l] , [k] ⊙ [l]vom Repräsentanten k für [k] und l für [l] nichtabhängen.Die Rolle der Null wird von der Klasse [0] und die Rolle der Eins wird von der Klasse [1]übernommen. Man stellt aber fest, daß eine Eigenschaft, die bei ZZ keine Entsprechunghat, hier eintritt: Die Multiplikation von Klassen, die von Null verschieden sind, könnendie Nullklasse ergeben; siehe folgende Additions– und Multiplikationstafel für m =6:⊕ [0] [1] [2] [3] [4] [5][0] [0] [1] [2] [3] [4] [5][1] [1] [2] [3] [4] [5] [0][2] [2] [3] [4] [5] [0] [1][3] [3] [4] [5] [0] [1] [2][4] [4] [5] [0] [1] [2] [3][5] [5] [0] [1] [2] [3] [4]⊙ [0] [1] [2] [3] [4] [5][0] [0] [0] [0] [0] [0] [0][1] [0] [1] [2] [3] [4] [5][2] [0] [2] [4] [0] [2] [4][3] [0] [3] [0] [3] [0] [3][4] [0] [4] [2] [0] [4] [2][5] [0] [5] [4] [3] [2] [1]Man beachte, daß in der obigen Multiplikationstafel auch “Quadratwurzeln“ zu findensind:[3] = [3] ⊙ [3] , [4] = [4] ⊙ [4] .Die damit zusammenhängenden Fragen sind Teil der Ringtheorie, die in der Algebrabehandelt wird.Das Rechnen in Kongruenzen ist nichts anderes als das Rechnen in Äquivalenklassen wieoben angedeutet. Mit der Kongruenza ≡ b (mod m)drücken wir aus, daß a, b zur selben Äquivalenzklasse bezüglich des Moduls m gehören.Als Illustration:Beispiel 1.28Betrachte das Kongruenzsystem7x ≡ 1(mod 4) , 2x ≡ 1(mod 3) .7x ≡ 1(mod 4) ist gleichbedeutend mit x ≡ 3(mod 4), d.h. x =3+4z,z∈ ZZ .Einsetzen in die Kongruenz 2x ≡ 1(mod 3) ergibt die Kongruenz2(3 + 4z) ≡ 1(mod 3) oder 8z ≡ 1(mod 3) ,