Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 974.4 Lineare GleichungssystemeWir kommen nun zu den Gleichungssystemen zurück und schreiben die Ergebnisse mitden nun schon entwickelten Begriffen auf.Betrachte das GleichungssystemAx = b (4.10)mit A ∈ IK m,n ,b∈ IK m,1Wendet man das Gaußsche Eliminationsverfahren an, kann man aus der Endform( )( ) ( )B C x1 c= ,Θ Θ x 2 dwobei B ∈ IK r,r eine reguläre Matrix von oberer Dreiecksgestalt ist, ablesen:(( ))B Cr = rg(B) =rg(B C)=rg.Θ ΘDa sich durch elementare Umformungen Spalten– und Zeilenrang nicht verändern, ist alsor = rg(A) .Damit ist erkannt, daß mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren die Invariante r = rg(A)berechnet werden kann. Es ist nun auch klar, daß diese Zahl r vom Verfahren nicht abhängt(siehe Bemerkung 2.15).Satz 2.8 aus Kapitel 2 bekommt nun folgende Fassung:Satz 4.44(a) Ist das System (4.10) homogen, so hat es die triviale Lösung x = θ.(b) L θ := {x ∈ IK n,1 |Ax = θ} = Kern(A) ist ein linearer Unterraum mit Dimensiondef (A).(c) Das System (4.10) ist lösbar genau dann, wenn rg(A) =rg(A|b) gilt.(d) Das System (4.10) ist eindeutig lösbar genau dann, wenn rg(A) =rg(A|b) =ngilt.(e) Das System (4.10) ist lösbar für alle b ∈ IK m,1 genau dann, wenn rg(A) =mgilt.(f) Ist das System (4.10) lösbar, dann ist die LösungsmengeL b := {x ∈ IK n,1 |Ax = b}Beweis:gegeben durchL b =¯x + Kern(A) ,wobei ¯x (irgendeine) spezielle Lösung von (4.10) ist.