Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 60und definieren Addition und Multiplikation durch+ : ′Q ×′Q ∋ (a + b √ 2,c+ √ 2d) ↦−→ (a + c)+(b + d) √ 2 ∈′Q[ √ 2] ,· : ′Q ×′Q ∋ (a + b √ 2,c+ d √ 2) ↦−→ (ac +2bd)+(ad + bc) √ 2 ∈′Q[ √ 2] .Dann ist ′Q[ √ 2] ein Körper, in den ′Q vermöge′Q ∋ a ↦−→ a +0 √ 2 ∈′Q[ √ 2]eingebettet ist. Die obige Gleichung ist lösbar mit x =0+1 √ 2 .Nun ist die Gleichungx 2 =3in ′Q[ √ 2] nicht lösbar. Wir adjungieren ein Symbol √ 3 und erhalten ( ′Q[ √ 2])[ √ 3]. Das“Spiel“ ist nun wohl durchschaut. 2Von C.F. Gauß wurde intensiv die komplexe Zahlenebene ′Q[i] untersucht, die hier als Körpererweiterungvon ′Q mit dem Ziel der Lösbarkeit von x 2 +1 =0 in ′Q sicherzustellen, daherkommt.Der Körper ′Q[i] hat viele interessante Eigenschaften, die ein intensives Studium von allgemeinerArithmetik angestoßen haben, etwa: Wie ist die Darstellung der Primzahl 5 ∈ IN durch5=(1+2i)(1 − 2i) ∈′Q[i] einzuordnen? In der Algebra werden Antworten gegeben.Bezeichnung: In einem Körperschreibenwirnunstatta +(−b) kurza − b, d.h. wirhaben damit eine “Subtraktion“ zur Verfügung.Bemerkung 3.29Es sollte nun klar sein, daß man lineare Gleichungssysteme mit Koeffizienten aus einembeliebigem Körper betrachten kann, insbesondere aus dem Körper der komplexen Zahlen.Etwa kann man dann betrachten:Finde die allgemeine Lösung des Gleichungssystemsx + y = a2x +4y + z = 03x + z = 1im Körper IK := ZZ 5 . (Schreibweise: 0 = [0], 2=[2], −2 =[−2],a=[a],...)Das Gaußsche Eliminationsverfahren bleibt anwendbar, da wir Addition und Multiplikationvon IK ∈{′Q, IR } in einer Weise verwendet haben, wie sie auch in jedem beliebigemKörper zur Verfügung steht; Satz 2.12 ist anwendbar. 2