Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 11Satz 1.16Sei f : X −→ Y eine Abbildung und sei B := f(X). Dann gilt:(a) f ist injektiv ⇐⇒ ∃g : B −→ X(g ◦ f = id X )(b) f ist surjektiv ⇐⇒ ∃g : Y −→ X(f ◦ g = id Y )(c) f ist bijektiv ⇐⇒ ∃g : Y −→ X(g ◦ f = id X ,f ◦ g = id Y )Beweis:Zunächst eine Vorüberlegung.Sei y ∈ B.Dann ist f −1 ({y}) ≠ ∅ ;wähle x y ∈ f −1 ({y}) . Damit definieren wirĝ : B ∋ y ↦−→ ĝ(y) :=x y ∈ X.Zu (a).Sei f injektiv. Wir setzen g := ĝ.Da f injektiv ist, gilt f −1 ({y}) =x y für jedes y ∈ B.Sei x ∈ X, y := f(x) . Dann ist also x = x y und wir haben(g ◦ f)(x) =g(f(x)) = ĝ(f(x y )) = x y = x = id X (x) für alle x ∈ X.Sei nun g : B −→ X mit g ◦ f = id X . Seien x, x ′ ∈ X mit f(x) =f(x ′ ). Dann istx = id X (x) =g(f(x)) = g(f(x ′ )) = id X (x ′ )=x ′ ,was wir zeigen wollten.Zu (b).Sei f surjektiv. Wir setzen g := ĝ und beachten B = Y.Dann ist(f ◦ g)(y) =f(ĝ(y)) = f(x y )=y = id Y (y) .Die Umkehrung ist trivial.Zu (c).Gibt es g mit den notierten Eigenschaften, dann ist nach (a) und (b) die Bijektivität vonf klar.Sei nun f bijektiv. Dann gibt es nach (a) und (b) Abbildungen g a : Y −→ X undg b : Y −→ X mit g a ◦ f = id X ,f◦ g b = id Y . Wir zeigen g a = g b und sind dann fertig.Unter Verwendung der eben angeführten Identitäten folgt:g a = g a ◦ id Y = g a ◦ (f ◦ g b )=(g a ◦ f) ◦ g b = id X ◦ g b = g b .Im obigen Beweis haben wir in der Vorüberlegung das sogenannte starke Auswahlaxiom derMengenlehre verwendet. Es lautet (etwas oberflächlich): Aus einer Familie nichtleerer Mengenkann man aus jeder Menge ein Element auswählen. Es mag einleuchtend erscheinen, doch hat dieErfahrung gezeigt, daß im Umgang mit unendlichen Mengen nichts als selbstverständlich angenommenwerden sollte. Das Auswahlaxiom – von E. Zermelo (1871 – 1953) und A. Fränkel (1891 – 1965)wurde ein Axiomensystem (ZF–System) für die Mengenlehre begründet – ist so bedeutsam, weildie Beweise zahlreicher Sätze der Mengenlehre von seiner Anerkennung abhängen. Von P. Cohenwurde 1963 gezeigt, daß dieses Axiom unabhängig von den restlichen Axiomen des ZF–Systemsist, es kann also durch die anderen ZF–Axiome weder widerlegt noch bewiesen werden.