Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 160(R3) δ(A) ändert das Vorzeichen, wenn man die Spalten (Zeilen) vertauscht.Folgt durch einfaches Nachrechnen.(R4) δ(A) multipliziert sich mit λ, falls man eine Spalte (Zeile) mit λ multipliziert.Folgt durch einfaches Nachrechnen.(R5) δ(A) = 0, falls die beiden Spalten (Zeilen) gleich sind.Folgt durch einfaches Nachrechnen.(R6) δ ist eine lineare Abbildung der Spalten (Zeilen).Sei A =(a 1 |a 2 ) ∈ IK 2,2 ,u∈ IK 2,1 . Dann ist offenbar δ((a 1 +u|a 2 )) = δ((a 1 |a 2 ))+δ((u|a 2 )).Eine Konsequenz aus Regel (R6) ist, daß δ(A) = 0, falls A eine Nullspalte (Nullzeile)enthält.(R7) Die elementaren Umformungen “Subtraktion eines Vielfaches einer Spalte (Zeile)von einer anderen Spalte (Zeile)“ ändern den Wert von δ nicht.Folgt aus den Regeln (R4) und (R5).(R8) δ(A) = 0 genau dann, wenn A singulär ist.Dies folgt aus der Tatsache, daß man wegen Regel (R8) ohne Einschränkungen annehmenkann, daß A von oberer Dreiecksgestalt ist. Dann ist die Aussage aber klar.(R9) δ(AB)=δ(A)δ(B).Folgt durch einfaches Nachrechnen.Damit haben wir nun Aussagen gefunden, die wir später nach Einführung der Determinantenfunktiondet als Verallgemeinerung von δ wiederfinden werden.Betrachten wir nun eine Matrix( )a11 a 12∈ IRa 21 a 2,222von oberer Dreicksgestalt. (Wir haben den Körper IK = IR gewählt, damit die Anschauungeine bessere Grundlage hat.) Dann können wir dieser Matrix das ParallelogrammOABC mit den EckpunktenO (0, 0) A (a 11 ,a 12 ) B (a 11 + a 21 ,a 12 + a 22 ) C (a 21 ,a 22 ) .zuordnen. Die Fläche (Der Inhalt) von OABC ist offenbar gegeben durchF = a 11 · a 22 − a 12 · a 21 = δ(A) .(Man betrachte etwa zunächst die Fläche des Dreiecks OAC und verdopple dann.) Damiterhält der Skalar δ(A) die Bedeutung der Fläche des durch die Zeilen der Matrix