Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 222Satz 8.60Sei q eine semidefinite quadratische Form auf X mit Bilinearfrom T . Dann giltT (x, y) ≤ q(x)q(y),x,y∈ X.Beweis:Siehe Beweis zur Cauchy-Schwarzschen Ungleichung.Beachte, daß der Zusatz über die Gleichheit hier fehlt, da ja die Definitheit im allgemeinennicht gegeben ist.Definition 8.61Sei X IK −Vektorraum. Eine Teilmenge Q ≠ X von X heißt Quadrik, wenn eseine symmetrische Bilinearform T ∈T 2 (X)\{θ},λ∈ X ′ und c ∈ IK gibt mitQ = {x ∈ X|T (x, x)+ +c =0} .Die Abbildung X ∋ x ↦−→ T (x, x)+ +c ∈ IK heißt Quadrikform unddie Forderung T (x, x)+ +c =0 heißt Quadrikgleichung.2Die Forderung Q ≠ X schließt lediglich gewisse lästige Sonderfälle von der Betrachtungaus.Beispiel 8.62Wir betrachten IR 2 und wählen die Standardbasis in IR 2 . Dann können wir die Koordinatenformeiner Quadrikgleichung so hinschreiben:a 11 x 2 +2a 12 xy + a 22 y 2 +2b 1 x +2b 2 y + c =0Darin sind nun u.a. die aus der Elementarmathematik bekannten Standardgleichungender Kegelschnitte enthalten (vergleiche mit Beispiel 8.58):Ellipse : x 2a 2 + y2b 2 − 1=0.Parabel : y 2 − 2px =0.Hyperbel : x 2a 2 − y2b 2 − 1=0.Sich schneidendes Geradenpaar : x 2a 2 − y2b 2 =0Paar paralleler Geraden : x 2 − a 2 =0Mit Ausnahme der Parabel sind alle Quadriken Mittelpunktsquadriken. (Ein Punkt x ∈ Xheißt Mittelpunkt von Q ⊂ X genau dann, wenn aus x + q ∈ Q, q ∈ Q, stets x − q ∈ Qfolgt. 2