Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 258hatten wir bereits benutzt (siehe Lemma 9.48).Setzeα := inf{< c,x>|z ∈ Z},α∗ := sup{< b,y>|y ∈ Z ∗ },wobei wir α = ∞ und α ∗ = −∞ vereinbaren, falls Z = ∅ bzw. Z ∗ = ∅ gilt.Lemma 9.55Seien x ∈ Z, y ∈ Z ∗ . Dann gilt ≥ .Beweis:Mit Hilfe von A t y ≤ c, x ≥ θ folgt≥ = = .Das obige Ergebnis bezeichnet man als schwachen Dualitätssatz. Ein stärkeres Ergebnisist der folgende sogenannte starke DualitätssatzSatz 9.56Es gilt:(a) Ist Z ≠ ∅,Z ∗ ≠ ∅, so sind (LOP) und (LOP)* lösbar und es gilt:−∞ ≥ α ≥ α ∗ ≥ > −∞.Wir zeigen die Existenz einer Lösung von (LOP) und α = α ∗ . Die Existenz einer Lösungvon (LOP)* folgt dann aus Symmetriegründen (siehe unten).Annahme: Es gibt kein x ∈ IR n mit = α ∗ ,Ax= b, x ≥ θ. Das Lemma von Farkas(siehe 9.35) liefert u ∈ IR m ,x∈ IR mitWähle v ∈ Z. Damit folgtA t u + γc ≥ θ, < b, u > +γα ∗ < 0.0 ≤ = +γ