Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 103Satz 4.52Sei X ein IK –Vektorraum. Dann gilt:(a) X ′ ist ein IK –Vektorraum.(b) Hat X Dimension n, dann hat X ′ ebenfalls Dimension n.(c) Ist Φ X := {x 1 ,...,x n } eine Basis in X, dann hat X ′ eine BasisΦ X ′ = {λ 1 ,...,λ n }⊂X ′ mit= δ ij ,i,j=1(1)n. (4.12)Diese Basis Φ X ′ ist durch die Eigenschaft 4.12 eindeutig bestimmt.Beweis:(a) ist ein Spezialfall: Hom K (X, Y ) ist ein Vektorraum, falls X, Y Vektorräume sind.Zu (b). Wird unter (c) mitbewiesen.Zu (c).Wir schreiben λ i als Projektion auf die i-te Koordinate von x bzgl. der Basis Φ X ,d.h.n∑λ i : X ∋ x = a j x jj=1↦−→ a i ∈ IK ; i ∈{1,...,n}.Diese Elemente λ i sind wohldefiniert, da die Darstellung eines Elements x ∈ X durch dieBasis eindeutig ist. Sie sind offenbar auch IK –linear. Die Eigenschaft (4.12) ist offensichtlich.Bleibt zu zeigen, daß {λ 1 ,...,λ n } eine Basis von X ′ darstellt.Sein∑λ := b i λ i = θ.Dann gilt wegen (4.12)i=10== b j ,j=1(1)n.Dies zeigt, daß Φ X ′ := {λ 1 ,...,λ n } linear unabhängig ist.Sei λ ∈ X ′ ∑. Dann gilt für alle x = n a j x j ∈ X wegen (4.12)j=1n∑n∑n∑= a j = =< λ j ,x> .j=1j=1j=1Dies zeigt, daß λ = n ∑j=1λ j ∈L(Φ X ′) ist. Also ist Φ X ′auch ein Erzeugendensystemvon X ′ ist. Damit ist Φ X ′ eine Basis in X ′ .Zur Eindeutigkeit: Ist Ψ X ′ := {µ 1 ,...,µ n } eine weitere Basis mit der Eigenschaft 4.12,dann gilt für i ∈{1,...,n} =0, 1 ≤ j ≤ n. Daraus folgt offenbar=0für alle x ∈ X. Also λ i = µ i .