Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 249Beispiel 9.47Betrachte das MinimierungsproblemMinimiere unter den Nebenbedingungen Ax = b, x≥ θfür m := 3,n:= 5 und⎛A :=⎜⎝1 1 1 0 02 1 0 0 11 0 0 1 0⎞⎟⎠ ,b:=⎛⎜⎝231⎞⎟⎠ ,c:= ( −3, −1 ) .Dann ist x =(1, 1, 0, 0, 0) eine entartete Ecke mit Basisvariablen 1, 2, 3bzw.1, 2, 4bzw.1, 1, 5. Die Ecke bestimmt also die Basisvariablen nicht in eindeutiger Weise. 2Kommen wir nun zur Beschreibung des Simplexverfahrens; entartete Ecken erforderndabei eine Sonderbehandlung. In seiner Durchführung unterscheidet man zwei Schritte:Phase I Bestimmung einer Startecke von Z.Phase II Übergang von einer nichtoptimalen Ecke zu einer benachbarten“ Ecke, in”der der Wert der Zielfunktion zumindest nicht anwächst (Eckenaustausch) undEntscheidung, ob ein weiterer Eckenaustausch die Zielfunktion verkleinert odernicht (Optimalitätstest).Da der Eckenaustausch mit benachbarten“ Ecken erfolgt, kann man diesen Schritt als”Schritt von einer Ecke entlang einer Kante“ zu einer anderen Ecke verstehen. Man”berücksichtigt also sehr wesentlich, daß der zulässige Bereich die Form“ eines Simplex”hat; daher die Bezeichnungsweise.Das Simplexverfahren wurde 1947/48 von G.B. Danzig eingeführt. Es war lange Zeit konkurrenzloswas Effektivität und Praktikabilität betrifft. Erst 1980 und 1985 wurden andersartige Verfahren(Ellipsoid-Verfahren, Innere-Punkte-Verfahren) vorgeschlagen, die im Vergleich zum Simplexverfahrenetwas mehr beweisbare Effektivität besitzen. In der Praxis ist das Simplexverfahren aberwohl immer noch konkurrenzlos.Kommen wir nun zur schrittweisen Darstellung des Verfahrens. Dazu stellen wir zunächstein Ergebnis zum Optimalitätstest bereit. SeiZ ∗ := {y ∈ IR m,1 | A t y ≤ c} .Im nächsten Abschnitt wird klar werden, daß Z ∗ als zulässige Menge eines zu (LOP)“dualen“ Problems (LOP) ∗ auftritt.Lemma 9.48Sei x ∈ Z, y ∈ Z ∗ und es gelte = .Dann ist x eine Lösung von(LOP).Beweis:Sei u ∈ Z. Offenbar gelten wegen x ≥ θ, u ≥ θ die folgenden Ungleichungen:≥ = = = .