Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 104Definition 4.53Sei X ein IK –Vektorraum und sei Φ X := {x 1 ,...,x n } eine Basis in X. Dannheißteine Basis Φ X ′ := {λ 1 ,...,λ n }⊂X ′ mit= δ ij ,i,j=1(1)n,die duale Basis zu Φ X .2Folgerung 4.54Sei X ein endlichdimensionaler IK –Vektorraum. Dann gibt es zu jedem x ∈ X\{θ}ein λ ∈ X ′ \{θ} mit≠0. (4.13)Beweis:Wähle eine Basis Φ X = {x 1 ,...,x n } in X und dazu eine duale Basis Φ X ′ = {λ 1 ,...,λ n }in X ′ ∑.Dafür x = n a j x jj=1a j =, j =1(1)n,gilt, gibt es zu x ∈ X\{θ} ein j mit ≠0.Beispiel 4.55Wähle in X := IK n,1 die Standardbasis e 1 ,...,e n und K X die zugehörige Koordinatenabbildung.Jede Linearform X ′ ∋ λ i : IK n,1 ∋ a ↦−→ k X (a) i ∈ IK aus der dualen Basiskönnen wir somit so hinschreiben:=(e i ) t .Also können wir den Dualraum X ′ von X := IK n,1 gleichsetzen mit IK n,1 , wenn wir< ·, · > noch erklären durch := λ t a, λ,a∈ IK n,1 .Verzichten wir auch noch auf die “Feinheit“ IK n,1 statt IK n zu schreiben, können wir denDualraum X ′ von X := IK n gleichsetzen mit IK n , wenn wir < ·, · > durch :=n∑λ i a i erklären. 2i=1Bemerkung 4.56Ist X ein n–dimensionaler IK –Vektorraum, dann wissen wir nun, daß auch X ′ ein n–dimensionaler IK –Vektorraum ist. Beide Räume sind dann isomorph zu IK n . Dies nutzenwir so:Sei {x 1 ,...,x n } eine Basis in X und sei {λ 1 ,...,λ n } eine duale Basis in X ′ . Mit den