Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 46folgtā ′ =ā ′ • e =ā ′ • (a • ā) =(ā ′ • a) • ā = e • ā =ā.Die Bedingung (A), die wir eben verwendet haben, nennt man das Assoziativgesetz.Es besagt, daß Klammern bei der Reihenfolge der Verknüpfungen beliebig gesetzt werdendürfen und deshalb, soweit sie nicht für die Lesbarkeit benötigt werden, weggelassenwerden dürfen.Seit dem 17. Jahrhundert ist der Gruppenbegriff implizit bei Mathematikern zu finden, zunächstwohl nur bei konkreten Beispielen. Eine erste explizite Definition einer abstrakten kommutativenGruppe findet sich bei H. Grassmann (1809 – 1877). Die Theorie der Gruppen ist nach wie vorim Zentrum der Algebra sehr lebendig, die vollständige Klassifizierung von speziellen Klassen vonGruppen ist ein Hauptziel der Untersuchungen.Bemerkung 3.2Die Forderungen (N) und (I) in Definition 3.1 kann man bei Beibehaltung von (A) auchschwächer formulieren ohne etwas zu verlieren. Es reicht, statt (N) und (I) zu fordern:(N’) ∃e ∈ G ∀a ∈ G (e • a = a) .(I’) ∀a ∈ G ∃ā ∈ G (ā • a = e) .Den Beweis – man folgert zunächst (I) aus (N’) und (I’) und dann (N) – wollen wirübergehen. 2Über die Lösbarkeit einer “linearen Gleichung“ in einer Gruppe gibt AuskunftFolgerung 3.3Sei (G, •) eine Gruppe und seien a, b ∈ G. Dann gilt:∃ 1 x, y ∈ G (a • x = b, y• a = b) .Beweis:Klar: x := ā • b, y := b • ā sind Lösungen; hierbei ist ā das Inverse zu a .Die Eindeutigkeit folgt etwa im Fall a • x = b so:Aus a • z = b, z ∈ G, folgtx =ā • b =ā • (a • z) =(ā • a) • z = e • z = z.Wir führen nun eine Reihe von Beispielen an. Dabei schreiben wir die Verknüpfung dannimmer mit dem Symbol, das wir in der speziellen Situation bereits kennen. Im Zusammenhangmit Vektorräumen lernen wir weitere Beispiele kennen.