Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 2028.3 Skalarprodukte und OrthogonalitätWir diskutieren nun wieder Vektorräume über einem Skalarkörper IK ∈{IR , ′C }. Von Fallzu Fall haben wir dann IK = IR und IK = ′C zu unterscheiden. Wir erinnern daran, daßwir die konjugierte Zahl von a ∈ ′C mit a bezeichnen.Definition 8.23Sei X ein Vektorraum über IK . Eine Abbildung σ : X × X ↦−→ IK heißt Skalarprodukt(inneres Produkt) auf X, wenn gilt:(a) σ(x, x) ∈ IR ,σ(x, x) > 0 für alle x ∈ X, σ(x, x) =0 ⇐⇒ x = θ;(b) σ(x, y)=σ(y,x) für alle x ∈ X;(c) σ(x, ay + bz) =aσ(x, y)+bσ(x, z) für alle x, y, z ∈ X, a, b ∈ IK .2Ist σ : X × X −→ IR ein Skalarprodukt auf dem IR – Vektorraum X, dann ist σ einenichtausgeartete symmetrische Bilinearform.Lemma 8.24Sei σ ein Skalarprodukt auf X. Dann gilt:|σ(x, y)| 2 ≤ σ(x, x)σ(y, y) für alle x, y ∈ X.Zusatz: Es steht das Gleichheitszeichen genau dann, wenn x, y linear abhängig sind.Beweis:Die Ungleichung beweist man fast wie die entsprechende Aussage (b) von Lemma 6.12.Seien x, y ∈ X. O.E. y ≠ θ. Für alle a, b ∈ IK gilt0 ≤ σ(ax + by, ax + by) =|a| 2 σ(x, x)+abσ(y, x)+baσ(x, y)+|b| 2 σ(y, y) .Wähle a := σ(y,y). Es folgtSetzt man noch b := −σ(y,x), so folgt0 ≤ σ(x, x)σ(y, y)+bσ(y, x)+bσ(x, y)+|b| 2 .0 ≤ σ(x, x)σ(y, y) − σ(y, x)σ(x, y) .Daraus liest man die behauptete Ungleichung ab.Ist |σ(x, y)| 2 = σ(x, x)σ(y,y), so folgt mit a, b wie oben0=σ(ax + by, ax + by), also ax + by = θ.Dies zeigt, daß x, y linear abhängig sind. Daß für linear abhängige x, y die Gleichheitsteht, ist einfach einzusehen.