Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 71Satz 3.55Sei V ein IK –Vektorraum und sei B ⊂ V . Dann sind äquivalent:(a) B ist Basis von V .(b) Zu jedem v ∈ V gibt es eindeutig bestimmte Elemente u 1 ,...,u neindeutig bestimmte Koeffizienten a 1 ,...,a n ∈ IK mit∈ B undn∑v = a i u i .i=1Beweis:(a) =⇒ (b) :Die Existenz ist klar, da B auch Erzeugendensystem ist.∑Die Eindeutigkeit folgt so: Sei v = n a i u i ∑= m b i v i .i=1 i=1O.E. m = n, u 1 = v 1 ,...,u n = v n (Einfügung von Koeffizienten, die 0 sind!).∑Dann gilt n (a i − b i )u i = θ, woraus aus der Eigenschaft, daß B linear unabhängig ist,i=1folgt: a 1 = b 1 ,...,a n = b n .(b) =⇒ (a) :Die Aussage L(B) =V ist schon klar.Seien u 1 ,...,u n ∑∈ B,a 1 ,...,a n ∈ IK mit n a i u i = θ. Da die Linearkombination, die θi=1∑darstellt, eindeutig bestimmt ist, und da sicherlich auch n 0 · u i eine Linearkombinationi=1für θ ist, folgt a 1 = ...= a n =0.Die Definition der linearen Unabhängigkeit besagt also, daß eine Darstellung von θ durcheine Linearkombination eindeutig bestimmt ist. Aus der linearen Struktur (Addition, skalareMultiplikation) folgt dann die eindeutige Darstellbarkeit eines jeden Elements durchVektoren einer Basis.Beispiel 3.56Sei IK = ′C . Die Monome 1,x,x 2 ,... bilden eine (nicht endliche) Basis von P ′C . Dieskönnen wir hier mit den bisher zur Verfügung stehenden Mitteln der Linearen Algebraund der Analysis nicht beweisen. Setzen wir jedoch den Fundamentalsatz der Algebravoraus, so ist es einfach. Dieser Satz besagt:Ein Polynom in P ′C vom Grad n ≥ 1 besitzt mindestens eine Nullstelle in ′C .Als Konsequenz ergibt sich mit dem Euklidischen Algorithmus:Jedes Polynom in P ′C vom Grad n ≥ 1 besitzt genau n Nullstellen in ′C .Dieses Resultat liefert nun die lineare Unabhängigkeit der Monome, denn ausn∑p(x) := a i x i = θ,x∈ ′C ,i=0