Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Der Stoff der Vorlesung wird von Grund auf ohne inhaltliche Voraussetzungen aufgebaut,allerdings werden wir bei den Themen Euklidische Vektorräume, Konvexität eine gewisseVertrautheit mit den dann wohl schon vorliegenden Ergebnisse der Analysis voraussetzen.Zunächst wollen wir im ersten Kapitel die Sprache entwickeln, mit der wir über die Themender Vorlesung reden wollen; sie ist in den Grundzügen aus der Schule bekannt. Im2. Kapitel besprechen wir die konstruktive Lösung linearer Gleichungssysteme. Sie machtuns auf viele interessante Fragen und erwünschte Abstraktionsschritte aufmerksam. Nachder Abstraktionsstufe “Vektoräume“, dem Kernstück der Linearen Algebra, kommen wirin Kapitel 4 dann auf höherer Ebene zu den Gleichungssystemen zurück. Das Kapitelüber Eigenwerte und Eigenvektoren beinhaltet Ergebnisse, die bereits viel Bedeutung fürAnwendungen (Differentialgleichungen, Spektraltheorie) haben. Ferner führt es auf Determinantenhin, die im 7. Kapitel dann algebraisch abgehandelt werden. Im Kapitel überGeometrie kommen wir zur ursprünglichen Intention von euklidischer und analytischerGeometrie zurück. Die Kapitel über euklidische Vektorräume und Konvexität machen erste,über die elementare Lösung von Gleichungssystemen hinausgehende, Anwendungenmöglich.Die Beschäftigung mit Beispielen (kleinen Problemen) ist sehr wichtig. Zum einen kann eingutes Beispiel Intention und Kernpunkte einer Theorie einprägsam vermitteln, zum anderenwächst aus der Beschäftigung mit Beispielen eine gewisse Vertrautheit mit der Theorie.Im Skript kommen Beispiele etwas zu kurz, die Übungsaufgaben zur Vorlesung undAufgaben in den Lehrbüchern (zum Teil mit Lösungsskizzen) sind hierzu eine Ergänzung.Mit der Vorlesung wird der Einstieg in Vorlesungen des zweiten Studienjahres, soweit esVorkenntnisse aus der Linearen Algebra betrifft, möglich. Vorkenntnisse aus der LinearenAlgebra werden etwa unterstellt in den Vorlesungen über Mannigfaltigkeiten, Algebra,Differentialgleichungen, Funktionalanalysis und Numerische Mathematik.Die Ausarbeitung folgt keiner speziellen Lehrbuchliteratur. Besonders geeignet dafür, denStoff in kompakter Form nachzulesen, sind die Bücher [15, 16, 26, 37, 31, 48]. Als geradezuklassisches Lehrbuch über Lineare Algebra kann [32] angesehen werden; Sprache undFormulierungen entsprechen nicht mehr ganz unserem heutigen Verständnis. Bei Verbindungenzur Analysis oder Verwendung von deren Resultaten verweisen wir auf [17, 53];über Zahlen informiere man sich in [13]. Als weiterführende Literatur kann [23, 52] angesehenwerden, die Brücke zur angewandten Mathematik wird u.a. in [9, 21] und [48]deutlich.Fast alles steht so oder ähnlich in irgendeinem der im Literaturverzeichnis aufgeführten(Lehr–)Büchern. Was das Skriptum vielleicht von anderen Büchern unterscheidet, ist inder Ausformulierung die stärkere Betonung des konstruktiven Aspekts, in der Stoffauswahlder Verzicht auf eine ausführliche Darstellung der affinen und projektiven Geometrie,im Aufbau die Vermeidung von Determinanten bei der Diskussion von Eigenwerten undNormalformen.Die historischen Bezüge im Text entnehmen wir vorwiegend [14, 20, 31, 49]. Diese Anmerkungen,festgemacht an Leistungen großer Geister, sollten nicht den Eindruck erwecken,daß Geschichte der Mathematik sich nur entlang genialer Eingebungen entwickelt. Mathematikwar und ist auch Bestandteil der allgemeinen Entwicklung der NaturwissenschaftenIII