Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 33ist.Bezeichnung: Die Spaltenvektoren⎛ ⎞ ⎛10e 1 :=,e 0.2 :=⎜ ⎟ ⎜⎝ 0 ⎠ ⎝0010.00⎞⎛, ··· ,e l :=⎟⎜⎠⎝000.01⎞,⎟⎠in IK l,1heißen Einheitsvektoren. Die Einheitsmatrix E ∈ IK n,n schreibt sich damit alsE =(e 1 |···|e n ) .Die Zahl n bei IK n bezeichnen wir als Dimension und IK n nennen wir einen n –dimensionalenRaum. Hier ist es einfach eine Sprechweise, später werden wir dies genauerbegründen. Soviel läßt sich jedoch sofort sehen: Ein Vektor in IK n steht für n Freiheitsgrade,da wir in in n Komponenten die Freiheit haben, zu operieren, unabhängig von denanderen Komponenten.2.3 LösungsraumBetrachte ein GleichungssystemAx = b (2.9)Die Daten des Gleichungssystems sind A ∈ IK m,n (Systemmatrix), b ∈ IK m,1 (rechteSeite); x ∈ IK n,1 steht für den Lösungsvektor.Bezeichnung:Mit θ schreiben wir den Nullvektor in einem Raum IK n , also θ =(0,...,0). Diese Bezeichnungverwenden wir sinngemäß auch für θ als Spalten– bzw. Zeilenvektor.Mit Θ schreiben wir die Nullmatrix in IK m,n , d.h. Θ =(a ij ) i=1(1)m , j =1(1)n mit Einträgena ij =0,i=1(1)m, j =1(1)n.Definition 2.7Das SystemAx = bheißt homogen, falls b = θ ist, anderenfalls inhomogen.2