Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Kapitel 5Eigenwerte und EigenvektorenWir studieren hier die linearen Teilräume eines Raumes X, auf denen eine lineare AbbildungL : X −→ X besonders einfach operiert. Von besonderer Bedeutung ist dabei auchder zugehörige Skalarkörper. Mit dem Skalarkörper ′C können alle wesentlichen Fragenabschließend diskutiert werden, am Ende des Kapitels diskutieren wir auch den Fall desSkalarkörpers IR . Stets setzen wir voraus, daß kein endlicher Skalarkörper IK vorliegt.Dann können P IK und IK [x] gleichberechtigt verwendet werden.5.1 DefinitionVor einem hinführenden Resultat noch eine Bezeichnung:Mit λ 1 ,...,λ n ∈ IK , IK Körper, setzen wir:⎛diag(λ 1 ,...,λ n ):=⎜⎝⎞λ 1 0 · ··· 00 λ 2 0 ··· 0⎟... ⎠0 · · ··· λ nLemma 5.1Sei X ein n–dimensionaler IK –Vektorraum und sei L : X −→ X ein Endomorphismus.Sei A =(a ij ) i=1(1)n , j =1(1)ndie Matrixdarstellung von L bzgl. der Basis{x 1 ,...,x n }⊂X. Für λ 1 ,...,λ n ∈ IK sind dann äquivalent:(a) A = diag(λ 1 ,...,λ n ) .(b) L(x i )=λ i x i , 1 ≤ i ≤ n.Beweis:(a) =⇒ (b) :Der Spaltenvektor λ i e i ist der Koordinatenvektor des Bildes L(x i ), d.h.L(x i )=λ i x i , 1 ≤ i ≤ n.112