Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 116Da x r ein Eigenvektor ist, ist wegen (5.1) auch a r = 0. Also sind x 1 ,...,x r linear unabhängig.Folgerung 5.8Sei X ein endlichdimensionaler IK –Vektorraum. Die Anzahl der verschiedenen Eigenwerteeines Endomorphismus L : X −→ X ist nicht größer als die Dimensionvon X.Beweis:Triviale Folgerung aus Lemma 5.7Satz 5.9Sei X ≠ {θ} ein endlichdimensionaler ′C –Vektorraum und sei L : XEndomorphismus. Dann besitzt L einen Eigenwert.Beweis:Sei n := dim ′C X.Seix ∈ X\{θ} . Dann sind die n +1Vektoren−→ X einx, L(x),L 2 (x),...,L n (x)linear abhängig; hierbei haben wir für die n–fache Hintereinanderausführung von L kurzL n geschrieben. Also gibt es a =(a 0 ,...,a n ) ∈ ′C n+1 ,a≠ θ, mitn∑a i L i (x) =θ.i=0∑Sei das Polynom p ∈P ′C definiert durch p(z) := n a i z i ,z ∈ ′C . Da x ≠ θ ist, ist p nichti=0das konstante Polynom. Sei p (unter Verwendung des Fundamentalsatzes der Algebra undDivision mit Rest) zerlegt in Linearfaktoren:n∏p(z) =c (z − λ i ),z ∈ ′C .i=1Dann haben wir – man argumentiere induktiv –n∑θ = a i L i (x) =c (L − λ 1 id X ) ◦···◦(L − λ n id X )(x)i=0und folgern daraus, daß L − λ i id X nicht injektiv ist für mindestens ein i. Dieszeigt,daßmindestens ein λ i Eigenwert von L ist.Das eingangs gegebene Beispiel und der obige Satz belegen, daß der Körper ′C dank derEigenschaft, daß jedes Polynom mit Koeffizienten in ′C in Linearfaktoren zerfällt, großeBedeutung für die Existenz von Eigenwerten besitzt.Die Tatsache, daß nicht immer eine Basis aus Eigenvektoren erreicht werden kann, selbstim Fall des Skalarkörpers ′C , erkennt man sehr schnell an folgendemBeispiel 5.10