Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 56(1) und (3) folgen aus Satz 3.3.Zu (2).Aus (−a)+(−(−a)) = 0, (−a)+a = 0 folgt mit (1) die Aussage −(−a) =a.Aus (a + b)+(−(a + b)) = 0 folgt durch Addition von (−a) auf jeder Seiteb +(−(a + b)) = −a, d.h. −(a + b) =−a +(−b) .(4), (5) folgen analog (2) .Zu (6).a · 0=a · (0 + 0) = a · 0+a · 0, also mit (1) a · 0=0.Zu (7).Offensichtlich folgt mit (6) aus a =0oderb =0soforta · b =0.Die Umkehrung folgt mit (3) , falls etwa a ≠0.Zu (8).0=0· b =(a +(−a)) · b = a · b +(−a) · b, woraus die erste Aussage folgt. Die zweiteAussage folgt mit −b aus der eben bewiesenen Aussage.Die Aussage (3) in Folgerung 3.22 kann etwas umfassender formuliert werden:Die Gleichung a · x = b hat die eindeutige Lösung x = a −1 b falls a ≠0, sie hat keineLösung, falls a = 0 und b ≠0, und sie hat jedes x ∈ IK als Lösung, falls a = b =0. Manhat dazu nur (6) aus Folgerung 3.22 heranzuziehen.Die Theorie der Körper beginnt im wesentlichen mit E. Galois (1811 – 1832) und N.H. Abel (1802– 1829) mit der Erweiterung der Körper ′Q, IR um Lösungen algebraischer Gleichungen (Körpererweiterung),allerdings noch in einer Formulierung, der mengentheoretische Sprechweisen nicht zurVerfügung stehen. R. Dedekind (1831 – 1916) führte dann die Begriffe “Körper“, “Moduln“ 1811ein, 1893 gab dann H. Weber (1842 – 1913) dem Wort “Körper“ den gleichen allgemeinen Sinn,den es heute hat. Auf abstrakter Ebene finden wir Körper dann auch bei E. Steinitz (1871 – 1928).Beispiel 3.23′Q, IR sind mit der üblichen Addition und Multiplikation Körper. Kein Körper ist ZZ ,wennman mit der üblichen Addition und Multiplikation rechnen will. Die Menge IF 2 := {n, e}ist ein Körper, wenn wir die Verknüpfungen durch die folgenden Gruppentafeln erklären:+ n en n ee e n· n en n ne n eDamit haben wir auch einen “kleinsten“ Körper angegeben. Klar, n steht für 0, e stehtfür 1. 2Von Nutzen ist die folgende Schreibweise nx , n ∈ IN 0 ,x∈ IK :Induktiv für x ∈ IK : 0x := 0 ; (n +1)x := x + nx , n ∈ IN 0 .Nützlich ist auch die Potenzschreibweise, die in einem beliebigem Körper IK Anwendungfinden kann:Induktiv für x ∈ IK \{0} : x 0 := 1 ; x n+1 := x · x n ,n∈ IN 0 .