Lineare Algebra und Analytische Geometrie

EinleitungSo eine Arbeit wird eigentlich nie fertig,man muß sie für fertig erklären,wenn man nach Zeit und Umständendas möglichste getan hat.J.W. von GoetheDas Studium der Mathematik an der Universität beginnt üblicherweise mit Vorlesungenzur Analysis (Studium von Funktionen) und zur Linearen Algebra (Studium vonlinearen Strukturen und ihren Verknüpfungen). Während Form und Inhalt einer Analysisvorlesungin den ersten beiden Semestern ziemlich unumstritten festgelegt sind – fürdie fortsetzenden Vorlesungen zu Differentialgleichungen, Funktionentheorie und Funktionalanalysisgilt dies wohl schon nicht mehr – sind die Inhalte und ihre Gewichte einerVorlesung über lineare Algebra und analytische Geometrie nicht ganz so klar: Es bestehtviel Spielraum bei der Ausgestaltung und Gewichtung der AspekteStrukturen: Gruppen konkret und/oder abstrakt, Körper, Vektorräume, ... ,Anschauung: Elementargeometrie, euklidische und/oder projektive Geometrie, ... ,Beschreibung: Basisfrei, Matrizenkalkül, ... .Ziel unserer Darstellung ist eine Form, die klarmacht, woraus sich die Betrachtungsgegenständeentwickelt haben, wo ihre Untersuchung weitergetrieben wird und worin ihreBedeutung als mathematische Objekte liegt. Im Wechselspiel von geometrischer Anschauung,Entwurf einer axiomatischen Begriffswelt und Behandlung ganz konkreter Anwendungenbesteht ein ganz beträchtlicher Reiz dieser Vorlesung.Diese Vorlesung soll nicht zuletzt eine Heranführung an die Geometrie sein. Wir holendabei etwas weit aus, indem wir das “Hilfsmittel“ Lineare Algebra entwickeln und wiruns der linearen Algebra in der analytischen Beschreibung von geometrischen Objektenbedienen (Analytische Geometrie).Ordnen wir zunächst einige Begriffe historisch ganz grob ein, etwas ausführlichere historischeBezüge wollen wir im Text an passender Stelle einstreuen.Geometrie, so wie sie in der Antike verstanden wurde und von Euklid (Euklid von Alexandria(365? – 300? v.C.)) begründet wurde, beschäftigt sich mit den Lagebeziehungen vonFigureninderEbene(“Planimetrie“)undvonKörpern im Raum (“Stereometrie“). DieI