Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 90Seien X, Y endlichdimensionale IK –Vektorräume und sei L : X −→ Y IK –linear. Istdann A die Matrixdarstellung von L bei gewählten Basen und T A die von A := A Linduzierte AbbildungIK n,1 ∋ a ↦−→ Aa∈ IK m,1 ,dann haben wirXL−→k X⏐ ⏐⏐↓k Y ◦ L = T A ◦ k X⏐ ⏐⏐↓k YIK n,1YT A−→ IKm,1oder kurzXL−→k X⏐ ⏐⏐↓k Y ◦ L = A ◦ k X⏐ ⏐⏐↓k YIK n,1YA−→ IK m,1Wir wissen, daß bei linearen Abbildungen die Hintereinanderausführung wieder linear ist.Wir gehen der Frage nach, was dies für die zugehörigen Matrizen bedeutet. Im obigenBeispiel spiegelt sich die Eigenschaft D n+1 = Θ wider in A n+1D .Erinnert sei an die Matrixmultiplikation aus Abschnitt 2.2. Sie bekommt nun einen tieferenSinn.Satz 4.24Seien X, Y, Z endlichdimensionale IK –Vektorräume und seien R : X −→ Y,S : Y −→ Z IK –lineare Abbildungen. Seien in X, Y, Z Basen gewählt.Sind dann A R ,A S ,A S◦R die zu R bzw. S bzw. S ◦ R gehörenden Matrixdarstellungen,so giltA S◦R = A S A R .Beweis:Seien {x 1 ,...,x n }, {y 1 ,...,y m }, {z 1 ,...,z l } Basen von X bzw. Y bzw. Z.Dann ist A R ∈ IK m,n ,A S ∈ IK l,m ,A S◦R ∈ IK l,n . SetzeA R := (a ij ) i=1(1)m , j =1(1)n,A S := (b ij ) i=1(1)l , j =1(1)m.Nach Konstruktion von A R und A S gilt:m∑l∑R(x j )= a ij y i ,j=1(1)n, S(y i )= b ki z k ,i=1(1)m.i=1k=1Daraus folgt für j =1(1)n :m∑(S ◦ R)(x j )=S( a ij y i )=Also besteht A S◦R aus den Spaltenvektoren⎛ m∑⎞b 1i a iji=1⎜ .,j=1(1)n.⎟⎝ m∑ ⎠b li a iji=1i=1m∑ l∑l∑ m∑a ij ( b ki z k )= ( b ki a ij )z ki=1 k=1k=1 i=1