Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 151Diese Bezeichnung rührt daher, daß (6.3) der Formel für den Schwerpunkt v von k +1“Massenpunkten“ x 0 ,...,x k mit den Massen b 0 ,...,b k und der Gesamtmasse 1 gleicht.Für k = 2 haben wir eine Verbindungsgerade x 0 ∨ x 1 zweier Punkte. Ist v ein weitererPunkt von x 0 ∨x 1 , so heißen x 0 ,x 1 ,v kollinear und der eindeutig bestimmte Skalar a mitv = x 0 + a(x 1 − x 0 )wird das Teilungsverhältnis von x 0 ,x 1 ,v genannt; wir schreiben dafüra = TV(x 0 ,x 1 ,v).Ist dim IK = n und sind x 0 ,...,x n affin linear unabhängig, dann nennt man {x 0 ,...,x n }eine affine Basis von X.Definition 6.26Seien X, Y IK –Vektorräume. Eine Abbildung f : X −→ Y heißt affin, falls eseine IK – lineare Abbildung L : X −→ Y gibt mitf(u) − f(v) =L(u − v) für alle u, v ∈ X.2Folgerung 6.27Seien X, Y IK –Vektorräume und seien A 1 ,A 2 affine Unterräume von X und seif : X −→ Y affin. Dann gilt:(a) f(A 1 ),f(A 2 ) sind affine Unterräume von Y .(b) Sind A 1 ,A 2 parallel, dann sind auch f(A 1 ),f(A 2 ) parallel.Beweis:Trivial.Seien X, Y IK –Vektorräume und sei f : X −→ Y. Dann ist f offenbar affin genau dann,wenn es y 0 ∈ Y und eine lineare Abbildung L : X −→ Y gibt mit f(x) =y 0 + L(x) füralle x ∈ X. Mankannalsof als Hintereinanderausführung der linearen Abbildung L mitder Translation T y 0 auffassen, die θ in y 0 überführt.DamitsindwirnunbeidenObjektenangelangt,diedieBrücke zum Erlanger Programmschlagen helfen. Die zur affinen Geometrie passende Symmetriegruppe ist gegeben durchdie GruppeGA(X) :={f ∈S(X)|f affin} ,die sogenannte affine Gruppe. Die Elemente von GA(X) heißenAffinitäten. Die affineGeometrie beschäftigt sich mit Aussagen, die invariant unter Affinitäten sind. SpezielleAffinitäten sind die Translationen. Dies sind die AbbildungenT b : X ∋ x ↦−→ b + x ∈ X (b ∈ X) .