Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 146Wir wissen| |≤|x||y| für alle x, y ∈ R n ,also−1 ≤ ≤ 1für alle x, y ∈ R n \{θ} .|x||y|Also gibt es zu x, y ∈ R n \{θ} einen eindeutig bestimmten Winkel ϑ = ϑ(x, y) ∈ [0,π]mit=cos(ϑ(x, y)) .|x||y|Wir nennen ϑ(x, y) den Winkel zwischen x und y.Aus der obigen Beweisführung ergibt sich, daß jedes f ∈S(IR n ), welches den euklidischenAbstand invariant läßt, auch die Winkel invariant läßt.Der richtige Rahmen für die euklidische Geometrie und ihrer Symmetriegruppen ist eigentlicherst durch den Begriff des euklidischen affinen Raumes gegeben. Wir kommen daraufim nächsten Abschnitt zurück.Beispiel 6.15Analog zu Beispiel 6.8 untersucht man geometrische Gebilde im IR 3 mit der von IR 3 induzierteneuklidischen Struktur auf Symmetrie. Dabei ergeben sich Symmetriegruppenfür allgemeine Polyeder und insbesondere für die regulären Körper wie Tetraeder, Würfel,Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder. Entsprechend der Anzahl k der Ecken sind die vollenSymmetriegruppen der regelmäßigen Körper als Untergruppen von S k aufzufassen.Für das Tetraeder mit 4 Eckpunkten ist die zugehörige volle Symmetriegruppe zum Beispielisomorph zur alternierenden Gruppe A 4 in S 4 . Die Symmetriegruppe des Würfelsist isomorph zu S 4 und die volle Symmetriegruppe des Dodekaeders ist isomorph zuralternierenden Gruppe A 5 in S 5 mit bereits 60 Elementen 2Unter dem Stichwort Kristallographische Gruppen faßt man Symmetriegruppen und”Überdeckungen“ des IR 3 durch einen Körper aus IR 3 und dessen Translationen undDrehungen zusammen.Beispiel 6.16Versehen wir IR n nicht mit dem euklidischen Skalarprodukt sondern mit einer möglicherweiseausgearteten Bilinearform, genaueres dazu später, so erhalten wir andere Symmetriegruppen.Betrachte in IR 2 etwa ( < ·, · > euklidisches Skalarprodukt):< ·, · > h : IR 2 × IR 2 ∋ (x, y) ↦−→ x 1 y 1 − x 2 y 2 ∈ IR .Zur Symmetriegruppe dieser Bilinearform gehören die hyperbolischen Drehungen, diedurch Matrizen der Form( )cosh ϕ sinh ϕH ϕ =,ϕ∈ IR ,sinh ϕ cosh ϕgegeben sind, d.h. h = h ,x,y ∈ IR 2 ,ϕ∈ IR .So kommt man in IR 4 in ähnlicher Weise zur Lorentz–Gruppe, einer Gruppe, die in derRelativitätstheorie von großer Bedeutung ist. 2