Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 38Wir fassen dies nun algorithmisch zusammen.Algorithmus “Elimination nach Gauß“:EIN Systemmatrix A ∈ IK m,n , rechte Seite b ∈ IK m .Zu finden ist x ∈ IK n,1 mit Ax = b.SCHRITT 1 A 0 := (A|b) ∈ IK m,n+1 ,D:= A, d:= b, k := 0 .SCHRITT 2 Sei A k in der Form (B C cΘ D dmit B ∈ IK k,k ,c∈ IK k,1 ,d∈ IK m−k,1 gegeben, wobeik = 0 bedeutet, daß A k von der Form (D|d) ist.SCHRITT 3 Ist D die Nullmatrix, setze r := k und gehe zu AUS .SCHRITT 4 Finde in D ein Pivotelement d ij ≠0.SCHRITT 5Falls nötig, vertausche in (D|d) Zeile i mit Zeile 1 und in DSpalte j mit Spalte 1 mit dem Ziel, daß in der resultierendenMatrix (D ′ |d ′ ′) das Element d 11 ≠ 0 ist. Sei die Matrix (D ′ |d ′ )nach eventueller Vertauschung wieder mit (D|d) benannt.)SCHRITT 6AUSMache die erste Spalte der Matrix (D|d) durch elementareUmformungen, angewendet auf die Matrix (D|d), zum Vektore 1 . Daraus resultiert eine Matrix A k+1 von der Form(B C c)Θ D dmit D ∈ IK n−k−1,m−k−1 .Setze k := k + 1 und gehe, falls k