Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 110Seien X, Y IK –Vektorräume mit dim IK X = n, dim IK Y = m.Seien Φ X , Φ Y Basen in X bzw. Y und seien Φ ′ X, Φ ′ Y duale Basen in X ′ bzw.Y ′ .Sei L : X −→ Y IK –linear und sei A die Matrixdarstellung bzgl. der gewähltenBasen.Damit haben wir:LX −→ YX ′ L←− ′Y ′⏐ ⏐ ⏐⏐↓ ⏐⏐↓ k X k Y ◦ L = A ◦ k X k Yk X ′⏐↓ k X ′ ◦ L ′ = A t ◦ k Y ′⏐↓ k Y ′IK n,1A−→ IK m,1 IK n,1A←− tIK m,14.7 Fredholm–Alternative *Abschließend nochmal ein Blick auf die linearen Gleichungssysteme. Eine Charakterisierungder Lösbarkeit eines Gleichungssystems ist auch unter Zuhilfenahme der adjungiertenAbbildung möglich. Dazu eine Vorbereitung.Lemma 4.71Sei X ein endlichdimensionaler IK –Vektorraum. und sei L : X −→ Y linear.Dann gilt:(a) Kern(L ′ )=Bild(L) a .(b) Bild(L ′ )=Kern(L) a .Beweis:Sei λ ∈ Y ′ mit L ′ (y) =θ. Dann ist =< L ′ (λ),x>=0für alle x ∈ X. Also istλ ∈ Bild(L) a . Die Umkehrung ist daraus auch ablesbar. Damit ist (a) gezeigt, (b) beweistman entsprechend.Als Verallgemeinerung von Lemma 4.40 haben wirFolgerung 4.72Seien X, Y endlichdimensionale IK –Vektorräume, sei L : X −→ Y linear. Danngilt rg(L) =rg(L ′ ).Beweis:rg(L ′ )=dimBild(L ′ )=dimKern(L) a =dimX − dim Kern(L) =dimBild(L) =rg(L).Der folgende Satz wird als Fredholm–Alternative (in endlichdimensionalen Räumen)bezeichnet.