Analisis Rangkaian Elektrik - Darpublic

Dengan memasukkan operator p akan kita peroleh
⎡ 1 ⎛ ∂ ⎞⎛
∂ ⎞ ⎤
⎢ ⎜−
jh
⎟⎜−
jh
⎟ + E p ( x)
⎥ Ψ = EΨ
atau
⎣2m
⎝ ∂x
⎠⎝
∂x
⎠ ⎦
2 2
h ∂ Ψ
− + E p ( x)
Ψ = EΨ
2m
2
∂x
Inilah persamaan Schrödinger untuk satu dimensi.
Untuk tiga dimensi, persamaan Schrödinger itu akan menjadi
2
h 2
− ∇ Ψ + E p ( x,
y,
z)
Ψ = EΨ
2m
3.3. Persamaan Schrödinger Bebas-waktu
(3.6)
(3.7)
Aplikasi persamaan Schrödinger dalam banyak hal akan berkaitan
dengan energi potensial, yaitu besaran yang merupakan fungsi posisi
dan tidak merupakan fungsi waktu. Perhatian kita tidak tertuju pada
keberadaan elektron dari waktu ke waktu, melainkan tertuju pada
kemungkinan dia berada dalam selang waktu yang cukup panjang.
Jadi jika faktor waktu dapat dipisahkan dari fungsi gelombang, maka
hal itu akan menyederhanakan persoalan. Kita tinjau kasus satu
dimensi dan menuliskan persamaan gelombang sebagai
Ψ ( x, t)
= ψ(
x)
T ( t)
. Jika persamaan gelombang ini kita masukkan ke
persamaan (3.6) dan kedua ruas kita bagi dengan ψ ( x)
T ( t)
kita
memperoleh
2 2
h 1 ∂ ψ(
x)
1 ∂T
( t)
−
+ E p ( x)
= − jh
2m
ψ(
x)
2
∂x
T(
t)
∂t
(3.8)
Ruas kiri dari (3.8) merupakan fungsi x saja sedangkan ruas kanan
merupakan fungsi t saja. Karena kedua ruas merupakan fungsi dengan
peubah yang berbeda maka kedua ruas harus sama dengan suatu nilai
konstan khusus, yang biasa disebut eigenvalue.
Kita lihat lebih dahulu ruas kanan, yang akan memberikan persamaan
Schrödinger satu dimensi yang tergantung waktu:
35