Programmreport 2012 - DORIS - Bundesamt für Strahlenschutz

Für die probabilistische bzw. stochastische Simulation von Prozessen werden danach Verdünnungs- und
Ausbreitungsmodelle untersucht, die mit Hilfe gewöhnlicher bzw. stochastischer Differentialgleichungen, mit
Differentialgleichungssystemen oder mit partiellen Differentialgleichungen beschrieben werden.
5.2.1 Spezifizierung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen für Modellparameter
Für die probabilistische Beschreibung von Modellparametern stehen oft mehrere Verteilungsarten zur Auswahl,
die sich weitgehend ähneln, sich jedoch insbesondere in den Randbereichen voneinander unterscheiden.
Zur Auswahl der Verteilungsart und Anpassung der Verteilungsparameter an Stichprobendaten sollten
vornehmlich solche Verteilungen in die engere Wahl einbezogen werden, die auf Basis fachspezifischer Überlegungen
zur Genesis der jeweiligen Verteilungsart plausibel sind. Verteilungen, die nach gängigen Goodness-of-Fit-Tests
(vorzugsweise Anwendung des Anderson-Darling-Tests) mit einer geringen Irrtumswahrscheinlichkeit
abgelehnt werden, stellen in der Regel kein sinnvolles statistisches Modell für den untersuchten
Modellparameter dar. Nach einer Anwendung dieser Kriterien können mehrere Verteilungsarten in der engeren
Auswahl verbleiben. In der Regel sollten dann Verteilungen mit möglichst wenigen anzupassenden Parametern
bevorzugt werden, die mit der Maximum-Likelihood-Methode geschätzt werden können. Der darauf
basierende Log-Likelihood-Test ist eine effiziente Methode zur Selektion aus verschiedenen möglichen Verteilungsarten.
Für eine hohe Wahrscheinlichkeit der korrekten Selektion der Verteilungsart sind häufig Stichprobenumfänge
von 200 (oder mehr) erforderlich. Der benötigte Stichprobenumfang wird durch mehrere Faktoren bestimmt,
wie der Anzahl und Art von Verteilungsfamilien, mit denen die untersuchte Zufallsgröße ähnlich gut modelliert
werden kann, sowie dem Verlauf der Wahrscheinlichkeitsdichte der "wahren" Verteilungsfamilie in Relation
zu den alternativen Verteilungen. Für die Wahl einer speziellen Verteilung aus ähnlichen Alternativen sind bei
der probabilistischen (Expositions-)Modellierung weitere Gesichtspunkte relevant. Diesbezügliche Kriterien
sind die Eignung der Verteilungsart für andere Datensätze des gleichen Typs sowie die Konsequenzen für die
Bewertung von extremen Ereignissen.
5.2.2 Schätzunsicherheiten und Abhängigkeiten zwischen Verteilungsparametern
1D-Monte-Carlo-Simulationen nutzen Punktschätzer der Verteilungsparameter, die z. B. mit der Maximum-Likelihood-Methode
berechnet werden können. Mit Ansätzen der klassischen Statistik können dazu
zwar Konfidenzintervalle für die einzelnen Verteilungsparameter berechnet werden, es werden jedoch keine
Abhängigkeiten zwischen unsicheren Verteilungsparametern bestimmt. Diese werden aber für eine korrekte
Erfassung der epistemischen Unsicherheiten dieser Schätzungen mit Hilfe von 2D-Monte-Carlo-Simulationen
benötigt.
Eine gängige Methode zur Bestimmung solcher Abhängigkeiten ist das Bootstrapping. Aus der für eine Stichprobe
geschätzten Verteilung wird hierbei eine große Anzahl neuer Stichproben simuliert, mit denen die Verteilungsparameter
erneut geschätzt werden, um epistemische Unsicherheiten der ursprünglichen Schätzung
zu quantifizieren. Diese Vorgehensweise ist aber in vielen Fällen unzureichend, da nominelle Vorgaben zum
Vertrauensniveau von Konfidenzgrenzen erheblich verfehlt werden können
Eine mathematisch konsistente Lösung des Problems ist die Berechnung Bayes'scher Posteriordichten für die
aus einer Stichprobe resultierende Wahrscheinlichkeit, dass die Verteilungsparameter der zu Grunde liegenden
Population in einem bestimmten Bereich des Parameterraums liegen. Die Analyse und Simulation unsicherer
Verteilungsparameter unter Beachtung gegenseitiger Abhängigkeiten ist Kern der Bayes-Theorie, die
für probabilistische Modellierungen vorzugsweise genutzt werden sollte. Beim Ansatz von geeigneten
nicht-informativen Priorverteilungen für die unbekannten Verteilungsparameter resultieren auch gute frequentistische
Eigenschaften für Konfidenzintervalle. Zur Berechnung und Simulation von Posteriordichten können
neben allgemeinen Markov-Chain-Monte-Carlo-Methoden in vielen Fällen relativ einfach realisierbare spezielle
Verfahren genutzt werden.
5.2.3 Berücksichtigung statistischer Abhängigkeiten zwischen Modellparametern
Zwischen den Parametern von Expositionsmodellen können statistische Abhängigkeiten vorliegen, die sich
insbesondere auf die Randbereiche der Verteilung der Zielgröße stark auswirken können. Solche Abhängigkeiten
werden oft vernachlässigt oder nur mit stark vereinfachten Ansätzen modelliert, die zu Fehleinschätzungen
der Wahrscheinlichkeit des Auftretens extremer Ereignisse führen.
Zur Analyse und Simulation von Abhängigkeiten zwischen Modellparametern kann die Copula-Theorie effektiv
genutzt werden. Copulas sind spezielle Funktionen, mit denen gemeinsame Verteilungsfunktionen von Zufallsvariablen
mit Hilfe ihrer Randverteilungen dargestellt werden können. Zur Auswahl und Anpassung von
Copulas an multivariate Stichproben wurden im vorliegenden Bericht die wichtigsten mathematischen Metho-
TB 05
Ergebnisse
Ergebnisse der abgeschlossenen Forschungsvorhaben im Jahr 2012 - TB 05 63