Analysis II für Mathematiker

setzen wir L j := (a j −(ε−δ)2 −j−2 , b j +(ε−δ)2 −j−2 ). Die offenen Intervalle L jüberdecken M. Da M kompakt ist, überdecken bereits endlich viele dieser Intervalledie Menge M, etwa L 1 ,...,L k . Dann überdecken auch die abgeschlossenenIntervalle L 1 ,...,L k die Menge M, und für die Intervalllängen gilt:k∑|L j | ≤j=1∞∑|L j | =j=1∞∑ ) (|I j |+(ε−δ)2 −j−1 = δ + 1 (ε−δ) < ε.2j=1Sei M ⊆ R. Eine Funktion f : M → R heißt auf M fast überall stetig, wenndie Menge ihrer Unstetigkeitsstellen eine Nullmenge ist. Allgemeiner sagt man,dass eine Eigenschaft fast überall erfüllt ist, wenn die “Ausnahmepunkte” eineNullmenge bilden.Satz 8.14 (Lebesguesches Integrabilitätskriterium) Eine Funktion f :[a,b] → R ist genau dann Riemann–integrierbar, wenn sie beschränkt und fastüberall stetig ist.FürdenBeweisbenötigenwireinigegenauereAussagenüberUnstetigkeitsstellen.Sei f : [a,b] → R eine beschränkte Funktion und T eine nichtleere Teilmenge von[a,b]. Die ZahlΩ f (T) := supt∈Tf(t)−inft∈Tf(t) = sup{|f(x)−f(y)| : x,y ∈ T}heißt Oszillation oder Schwankung von f auf T. Für jedes fixierte x ∈ [a,b] istdie Funktion)(0,∞) → R, δ ↦→ Ω f(U δ (x)∩[a,b]monoton wachsend und nach unten durch 0 beschränkt. Also existiert der Grenzwert( )lim Ω f U δ (x)∩[a,b] =: ω f (x).δ→0+Die Zahl ω f (x) heißt Oszillation von f in x.Lemma 8.15 Eine beschränkte Funktion f : [a,b] → R ist genau dann stetig inx ∈ [a,b], wenn ω f (x) = 0.Der Beweis benutzt nur die Definition der Stetigkeit und ist HA.Wir bezeichnen die Menge der Unstetigkeitsstellen von f mit ∆(f), und für jedesε > 0setzen wir ∆ ε (f) := {x ∈ [a,b] : ω f (x) ≥ ε}.EineunmittelbareKonsequenzvon Lemma 8.15 istFolgerung 8.16 Für jede beschränkte Funktion f : [a,b] → R ist∆(f) =∞⋃∆ 1/k (f).k=1133