Analysis II für Mathematiker

woraus mit C 2 := ∑ nj=1 ‖e j‖ die Abschätzungfolgt. Aus (10.1) erhalten wir für x 1 ,x 2 ∈ R nd.h. die Abbildung‖x‖ ≤ C 2 ‖x‖ ∞ für alle x ∈ R n (10.1)∣∣‖x 1 ‖−‖x 2 ‖ ∣ ≤ ‖x 1 −x 2 ‖ ≤ C 2 ‖x 1 −x 2 ‖ ∞ ,(R n ,‖·‖ ∞ ) → R, x ↦→ ‖x‖ (10.2)ist stetig (sogar Lipschitzstetig). Da {x ∈ R n : ‖x‖ ∞ = 1} beschränkt undabgeschlossen, also kompakt ist, nimmt die Funktion (10.2) ihr Minimum C 1 aufdieser Menge an, und C 1 ist positiv (warum?). Es ist also‖x‖ ≥ C 1 für alle x ∈ R n mit ‖x‖ ∞ = 1bzw.‖x‖ ≥ C 1 ‖x‖ ∞ für alle x ∈ R n .Folgerung 10.2 (a) R n ist bezüglich jeder Norm vollständig.(b) Konvergiert eine Folge im R n bzgl. einer Norm, so konvergiert sie bzgl. jederNorm.(c) Alle Normen auf R n liefern die gleichen offenen Mengen.(d) Die Stetigkeit einer Abbildung f : X → R n oder g : R n → Y, wobei X undY metrische Räume sind, hängt nicht von der Wahl der Norm auf R n ab.Der Beweis ist Hausaufgabe.Seien X,Y lineare Räume über R. Eine Abbildung A : X → Y heißt linear, wennA(αx+βy) = αAx+βAy ∀x,y ∈ X, α,β ∈ R.Sind X,Y normierte Räume, so heißt eine lineare Abbildung A : X → Y beschränkt,wenn sie die Einheitskugel von X in eine beschränkte Menge in Yüberführt. Die Zahl‖A‖ := sup{‖Ax‖ Y : x ∈ X, ‖x‖ X ≤ 1}heißt die durch die Normen ‖ · ‖ X , ‖ · ‖ Y induzierte Operatornorm von A. DieNorm ‖A‖ ist also gleich dem Radius der kleinsten Kugel um 0 ∈ Y, die das Bildder Einheitskugel von X unter der Abbildung A enthält. Sind beispielsweise R n181