Analysis II für Mathematiker

den zweiten Summanden beachten wir, dass s(0) = 0. Für g(x) = g(x 0 ) ist alsos(g(x)−g(x 0 )) = 0, und für g(x) ≠ g(x 0 ) haben wirs(g(x)−g(x 0 ))‖x−x 0 ‖= s(g(x)−g(x 0))‖g(x)−g(x 0 )‖‖g(x)−g(x 0 )‖‖x−x 0 ‖Wegen der Stetigkeit von g in x 0 und wegen lim h→0 s(h)/‖h‖ = 0 ists(g(x)−g(x 0 ))limx→x 0 ‖g(x)−g(x 0 )‖ = 0,undwirzeigennoch,dassderQuotient‖g(x)−g(x 0 )‖/‖x−x 0 ‖ineinerUmgebungvon x 0 beschränkt bleibt. Dies folgt aber aus der Zerlegungsformel für g :‖g(x)−g(x 0 )‖‖x−x 0 ‖= ‖g′ (x 0 )(x−x 0 )+r(x−x 0 )‖‖x−x 0 ‖Wir sehen uns die Kettenregel für einige Spezialfälle an.≤ ‖g ′ (x 0 )‖+ ‖r(x−x 0)‖‖x−x 0 ‖ .Beispiel 1 Die reellwertigen Funktionen f bzw. x 1 ,...,x n seien auf der offenenMenge U ⊆ R n bzw. auf dem offenen Intervall I ⊆ R definiert, und die verketteteFunktion F(t) := f(x 1 (t),...,x n (t)) soll auf I erklärt sein. Sind alle Funktionenf und x i auf I differenzierbar, so ist auch F auf I differenzierbar, undgenauer: für t 0 ∈ I istdFdt (t 0) =dFdt = ∂f dx 1 ∂f dx n+...+∂x 1 dt ∂x n dt ,n∑i=1∂f( )x 1 (t 0 ),...,x n (t 0 ) · dx i∂x i dt (t 0).Der Beweis folgt sofort aus der Kettenregel, angewandt auf die äußere Funktionf und die innere Funktion g(t) := (x 1 (t),...,x n (t)) T : I → R n .Beispiel 2 Die reellwertigen Funktionen f bzw. u 1 ,...,u n seien auf der offenenMenge U ⊆ R n bzw. der offenen Menge V ⊆ R m definiert. Wir betrachten dieverkettete Funktion()F(x 1 ,...,x m ) = f u 1 (x 1 ,...,x m ),...,u n (x 1 ,...,x m )auf V. Ist f auf V differenzierbar und jede Funktion u i auf V partiell differenzierbar,so ist F auf V partiell differenzierbar, und es gilt∂F∂x i= ∂f∂u 1∂u 1∂x i+...+ ∂f∂u n∂u n∂x ifür alle i.Dies folgt sofort aus Beispiel 1. Ist sogar jede der Funktionen u i differenzierbar,so ist F auf V differenzierbar, und es ist192.