Analysis II für Mathematiker

und hieraus der Reihe nach a 0 = 0, a 1 = 1, a 2 = 0, a 3 = 1 3 und a 4 = 0. WeitereRechnungen lieferntanx = x+ 1 3 x3 + 215 x5 + 17315 x7 +...Es gibt keine ”einfache“ Formel für die Koeffizienten dieser Reihe.Beispiel 2 Wir suchen eine explizite Formel für die Glieder der Fibonacci-Folgea 0 = 1, a 1 = 1, a n = a n−1 +a n−2 für n ≥ 2. (9.7)Wir ordnen dieser Folge die Potenzreihe f(x) = ∑ ∞n=0 a nx n zu und finden mit(9.7)f(x) = 1+x+∞∑a n x n = 1+x+n=2n=0∞∑(a n−2 +a n−1 )x nn=2∑ ∞ ∞∑= 1+x+x 2 a n x n +x a n x nn=1= 1+x+x 2 f(x)+x ( f(x)−1 ) .Umstellen nach f(x) liefert f(x) = (1−x−x 2 ) −1 . Da die Potenzreihe 1−x−x 2(die ein Polynom ist) überall konvergiert und an der Stelle 0 ungleich 0 ist, folgtmit Satz 9.16, dass auch die Reihef(x) =11−x−x = ∑ ∞a 2 n x neinen positiven Konvergenzradius besitzt. Wir bestimmen die a n , indem wirf(x) = (1−x−x 2 ) −1 geschickt in eine Potenzreihe entwickeln. Dazu schreibenwirf(x) = √ 1 15 x− −1−√ 52= √ 1 15−1+ √ 5=− √ 1 15 x− −1+√ 52−x − 1 1√2 5−1− √ 5−x22 1√ √5(−1+ 5) 1− 2x−1+ √ 5−n=0(Partialbruchentwicklung)2 1√ √5(−1− 5) 1− 2x .−1− √ 5Ist |x| hinreichend klein, so ist dies gleich (geometrische Reihe!)2 ∑ ∞ (2x) nf(x) = √ √5(−1+ 5) −1+ √ 2 ∑ ∞ (2x− √ √5n=0 5(−1− 5) −1− √ 5n=0= √ 1 ∑ ∞ ( (2) n+1 (5 −1+ √ 2) ) n+1−5 −1− √ x n ,5n=0167) n