Analysis II für Mathematiker

12(x 4 ,y 4 )000000000111111111000000000111111111000000000111111111000000000111111111000000000111111111000000000111111111000000000111111111000000111111 0000 1111000000111111 0000 1111000000111111 0000 1111y 4 −y 2y 4 −y 1(x 2 ,y 2 )(x 1 ,y 1 )x 1 −x 4 x 2 −x 1y 2 −y 1Parallelogrammfläche = Fläche des weißen Dreiecks= (y 4 −y 1 ) ( (x 2 −x 1 )+(x 1 −x 4 ) ) − 1 2 (y 2 −y 1 )(x 2 −x 1 )− 1 2 (x 1 −x 4 )(y 4 −y 1 )− 1 2 (y 4 −y 2 )(x 2 −x 4 ).Mit Hilfe von Determinanten läßt sich (13.5) schreiben als( )∣ Fläche =∣ det x2 −x 1 x 4 −x 1 ∣∣∣.y 2 −y 1 y 4 −y 1Die Fläche unseres krummen“ Parallelogramms ist also ungefähr gleich( ” )∣ ∣ det ϕ(uj +∆u j ,v k )−ϕ(u j ,v k ) ϕ(u j ,v k +∆v k )−ϕ(u j ,v n ) ∣∣∣.ψ(y j +∆u j ,v k )−ψ(u j ,v k ) ψ(u j ,v k +∆v k )−ψ(u j ,v k )Wir nehmen nun an, dass ϕ und ψ differenzierbar sind. Für kleines ∆u j ist dannϕ(u j +∆u j ,v k )−ϕ(u j ,v k ) ≈ ∂ϕ∂u (u j,v k )·∆u j .Der Ausdruck (13.4) ist daher ungefähr gleich( ∂ϕ∣ det (u ∂ϕ∂u j,v k ) (u )∣∂v j,v k ) ∣∣∣∣∂ψ(u ∂ψ∂u j,v k ) (u ∆u j ∆v k .∂v j,v k )Die hier stehende Matrix ist aber nichts anderes als die Jacobi-Matrix von g ander Stelle (u j ,v k ). Mit anderen Worten: (13.4) ist etwa gleich|detg ′ (u j ,v k )|·∆u j ∆v k .Wir erwarten daher die Näherungsgleichung∫f(x,y)d(x,y) ≈ ∑ f ( ϕ(u j ,v k ),ψ(u j ,v k ) ) |detg ′ (u j ,v k )|∆u j ∆v kBj,kund hieraus die Substitutionsregel∫ ∫f(x,y)d(x,y) = f ( ϕ(u,v),ψ(u,v) ) |detg ′ (u,v)|d(u,v).BB ′Es zeigt sich, dass die hier abgeleitete“ Formel unter entsprechenden Voraussetzungentatsächlich gilt und dass sie auch auf Funktionen mehrerer Veränderlicher”verallgemeinert werden kann.265