Analysis II für Mathematiker

9.2 Gleichmäßige KonvergenzSei X eine nichtleere Menge, (N,d) ein metrischer Raum und (f n ) n∈N eine Folgevon Funktionen f n : X → N.Definition 9.2 Die Funktionenfolge (f n ) n∈N konvergiert auf X gleichmäßig gegendie Funktion f : X → N, wenn für jedes ε > 0 ein n 0 ∈ N existiert, sodass ( )d f n (x),f(x) < ε für alle n ≥ n 0 und alle x ∈ X.Beachten Sie: Bei punktweiser Konvergenz hängt n 0 i.Allg. von x ab, währendbei gleichmäßiger Konvergenz n 0 unabhängig von x gefunden werden kann. Ausder gleichmäßigen Konvergenz folgt offenbar die punktweise Konvergenz.Beispiel 1 Die Funktionenfolgen aus den Beispielen 1, 2 aus 9.1 konvergierennicht gleichmäßig. Wir überlegen uns dies für Beispiel 1. Sei ε > 0 und x ∈ (0,1).Wegen|x n −0| < ε ⇐⇒ x n < ε ⇐⇒ nlnx < lnε ⇐⇒ n > lnε/lnxkann es kein n 0 so geben, dass |f n (x)−f(x)| < ε für alle n ≥ n 0 und x ∈ M .Beispiel 2 Auf R sei f n (x) := 1 [nx] ([y] ist die größte ganze Zahl, die kleinernals oder gleich y ist.) Aus [nx] ≤ nx < [nx]+1 folgtd.h. es ist1n [nx] ≤ x ≤ 1 n [nx]+ 1 n bzw. f n(x) ≤ x ≤ f n (x)+ 1 n ,0 ≤ x−f n (x) < 1 nfür alle x ∈ R.Hieraus folgt sofort die gleichmäßige Konvergenz der Funktionen f n gegen dieFunktion f(x) = x.Im Weiteren sei N = R, versehen mit dem üblichen Abstand. Alle ÜberlegungendiesesAbschnittesbleibenaberauchfürN = R k (z.B.mitderEuklidschenNorm)undinsbesonderefürN = C(mitdemüblichenAbstand)richtig.Wirzeigen,dassman die gleichmäßige Konvergenz als Konvergenz in einem geeigneten metrischenRaum (dessen Elemente Funktionen sind) auffassen kann.Eine Funktion f : X → R heißt beschränkt, wenn||f|| ∞ := sup|f(x)| < ∞, (9.1)x∈Xund die Zahl ||f|| ∞ heißt die Supremumsnorm von f. Es ist klar, dass die MengeM(X) aller beschränkten reellwertigen Funktionen auf X einen reellen linearenRaum bildet und dass (9.1) ein Norm auf M(X) in folgendem Sinn definiert:157