Analysis II für Mathematiker

Satz 13.22 (Allgemeines Lebesguesches Integrabilitätskriterium) SeiB ⊆ R n nichtleer und beschränkt, und B sei Jordan-messbar. Eine Funktion f :B → R ist genau dann auf B Riemann-integrierbar, wenn sie auf B beschränktund fast überall stetig ist.Beweis Sei I ⊆ R n ein Intervall mit B ⊆ I. Sei f auf B Riemann-integrierbar.Dann ist f B auf I Riemann-integrierbar. Nach Satz 13.10 ist f B beschränkt undfast überall stetig auf I. Dann ist f auch beschränkt und fast überall stetig aufB. Ist umgekehrt f beschränkt und fast überall stetig auf B, so ist f B beschränktauf I, und für die Menge der Unstetigkeitsstellen gilt: ∆(f B ) ⊆ ∆(f)∪∂B. NachSatz 13.21 ist ∂B eine Nullmenge. Also ist ∆(f B ) Nullmenge, d.h. f B ist auf IRiemann-integrierbar, und f ist auf B Riemann-integrierbar.Esistnunklar,dassauchdieFolgerungen13.11–13.14entsprechendfürIntegraleüber Jordan-messbare Mengen gelten. Beispielsweise gilt:Folgerung 13.23 StetigeFunktionenauf kompaktenundJordan-messbarenMengensind Riemann-integrierbar.Wir überlegen uns nun, wie das Integral bei fester Funktion f vom Integrationsbereichabhängt. Dazu vereinbaren wir:∫f dx := 0.∅AusSatz13.21bzw.demLebesgueschenIntegrabilitätskriteriumfolgtsofort:SindA und B Jordan-messbar, so sind auch A∪B, A∩B und A\B Jordan-messbar(die Ränder dieser Mengen liegen in ∂A ∪ ∂B und sind folglich Nullmengen).Weiter: Ist f auf einer Jordan-messbaren Menge B integrierbar, so ist f auch aufjeder Jordan-messbaren Teilmenge von B integrierbar.Satz 13.24 Seien A,B ⊆ R n Jordan-messbar und f auf A und B Riemannintegrierbar.Dann gilt:∫ ∫ ∫ ∫f dx+ f dx = f dx+ f dx.A∪BA∩BBeweis Die Existenz aller Integrale folgt aus den Vorbemerkungen. Wir zeigendie Behauptung zuerst im Fall A∩B = ∅ und wählen dazu ein Intervall I ⊆ R nmit A∪B ⊆ I. Dann ist∫ ∫ ∫ ∫ ∫f dx+ f dx = f A dx+ f B dx = (f A +f B )dxA B I I I∫ ∫= f A∪B dx = f dx. (13.3)IAA∪BB254