Analysis II für Mathematiker

folgenden Regeln müssen dazu wiederholt angewandt werden:∫ { 1dx 1−k=(x−b)1−k falls k > 1(x−b) k ln|x−b| falls k = 1,∫∫∫∫dxx 2 +2cx+d = 1√d−c2arctanx+c√d−c2 ,dx(x 2 +2cx+d) = x+cm 2(m−1)(d−c 2 )(x 2 +2cx+d) m−1+(2m−3)2(m−1)(d−c 2 )αx+βx 2 +2cx+d dx = α 2 ln(x2 +2cx+d)+(β −αc)∫dxfür m ≥ 2,(x 2 +2cx+d) m−1∫dxx 2 +2cx+d ,αx+β(x 2 +2cx+d) dx = −αm 2(m−1)(x 2 +2cx+d) m−1∫dx+(β −αc)für m ≥ 2.(x 2 +2cx+d) m−1Beispiel Man bestimme ∫ x 4 +1x 4 −x 3 −x+1 dx.1. Schritt: Polynomdivisionx 4 +1x 4 −x 3 −x+1 = 1+ x 3 +xx 4 −x 3 −x+1 .2. Schritt: Faktorisierung des Nennerpolynomsx 4 −x 3 −x+1 = (x−1)(x 3 −1) = (x−1) 2 (x 2 +x+1).3. Schritt: Partialbruchzerlegung Der Ansatzx 3 +xx 4 −x 3 −x+1 = A 1x−1 + A 2(x−1) 2 + Bx+Cx 2 +x+1liefert nach Multiplikation mit x 4 −x 3 −x+1bzw.x 3 +x = A 1 (x−1)(x 2 +x+1)+A 2 (x 2 +x+1)+(Bx+C)(x−1) 2x 3 +x = (A 1 +B)x 3 +(A 2 −2B +C)x 2 +(A 2 +B −2C)x+(A 2 −A 1 +C).EinVergleichderKoeffizientenaufderlinkenbzw.rechtenSeiteergibtdaslineareGleichungssystem147