Analysis II für Mathematiker

heißt das Riemann-Integral von f über I. Wir schreiben dafür∫ ∫ ∫f dx, f(x)dx, f(x 1 ,...,x n )d(x 1 ,...,x n ) oderI I I∫If dV.Die folgenden Aussagen beweist man wie für n = 1 (Sätze 8.4, 8.22, 8.23, 8.24und 8.19).Satz 13.2 Jede auf einem Intervall I ⊆ R n Riemann-integrierbare Funktion fist beschränkt.Satz 13.3 Sind f,g Riemann-integrierbarauf I und α,β ∈ R, so ist auch αf+βgRiemann-integrierbar auf I, und es gilt∫ ∫ ∫(αf +βg)dx = α f dx+β gdx.ISatz 13.4 Sind f,g Riemann-integrierbar auf I und ist f(x) ≥ g(x) für allex ∈ I, dann ist auch ∫ ∫f dx ≥ gdx.Folgerung 13.5 Für Riemann-integrierbares f : I → R ist∫∣ f dx∣ ≤ sup |f(x)|·|I|.IIx∈ISatz 13.6 Sind f,g Riemann-integrierbar auf I und stimmen f und g auf einerin I dichten Menge überein, so ist bereits∫ ∫f dx = gdx.13.2 Integrabilitätskriterien13.2.1 Charakterisierung über Darbouxsche IntegraleISei I ⊆ R n ein abgeschlossenes Intervall und f : I → R eine beschränkte Funktion.Weiter sei Z eine Zerlegung von I in Teilintervalle I 1 ,...,I r . Mit den Zahlenm k := infx∈I kf(x), M k := supx∈I kf(x)definieren wir die Unter- bzw. Obersummen von f bzgl. Z:IIIIU(Z,f) :=r∑m k |I k |, O(Z,f) :=k=1247r∑M k |I k |k=1