Analysis II für Mathematiker

mit (Hess f) (x) und nennen sie die Hesse–Matrix oder den Hessian von f inx. Nach dem Satz von Schwarz ist (Hess f) (x) eine symmetrische Matrix. Mitdieser können wir P 2 (h) schreiben alsP 2 (h) = 1 〈(Hess f)(x)h,h〉.2Folgerung 10.22 Ist U ⊆ R n offen, f : U → R dreimal stetig partiell differenzierbarund x+th ∈ U für alle t ∈ [0,1], so istf(x+h) = c+〈a,h〉+ 1 2 〈Ah,h〉+R 2(x,h)mit c = f(x), a = (gradf)(x), A = (Hess f)(x) und einem Restglied R 2 wie imSatz 10.21.10.7 Lokale ExtremaWir benutzen nun Folgerung 10.22 zur Untersuchung des lokalen Verhaltens vonFunktionen f : R n ⊇ U → R. Für offenes U ⊆ R n sei C k (U) die Menge allerk–mal stetig partiell differenzierbaren Funktionen f : U → R. Eine Funktionf : U → R besitzt in x 0 ∈ U ein lokales Minimum (bzw. Maximum), wenn füralle x aus einer Umgebung V ⊆ U von x 0 giltf(x 0 ) ≤ f(x)(bzw. f(x0 ) ≥ f(x) ) .Tritt die Gleichheit nur für x = x 0 ein, nennen wir x 0 ein isoliertes lokalesMinimum (bzw. Maximum).Satz 10.23 (Notwendige Bedingung) Sei U offen und f : U → R partielldifferenzierbar. Besitzt f in x 0 ∈ U ein lokales Extremum (Minimum oder Maximum),so ist (gradf)(x 0 ) = 0.Beweis Für i = 1,...,n betrachten wir die Funktionen g i (t) := f(x 0 + te i ).Diese sind auf einem Intervall (−ε,ε) mit ε > 0 definiert und differenzierbar, undsie besitzen in t = 0 ein lokales Extremum. Nach Lemma 7.9 ist g ′ i(0) = 0. Nunist aber g ′ i(0) = ∂f∂x i(x 0 ). Also ist (gradf)(x 0 ) = 0.Das Verschwinden aller partiellen Ableitungen in x 0 ist also eine notwendige Bedingungfür das Vorliegen eines lokalen Extremums. Wie bei Funktionen einerVeränderlichen erhält man hinreichende Bedingungen durch Betrachten der zweitenAbleitungen. Wir treffen dazu einige Vorbereitungen.Definition 10.24 Sei A eine symmmetrische (A = A T ) reelle n×n Matrix. Aheißt• positiv definit, wenn 〈Ax,x〉 > 0 für alle x ∈ R n \{0}.200