Analysis II für Mathematiker

Schließlich definiert man in diesem Fall den Cauchyschen Hauptwert durchV.P.∫ ba( ∫ c−εf(x)dx := lim f(x)dx+ε↘0(falls dieser Grenzwert existiert und endlich ist).a∫ bc+ε)f(x)dxBeispiel 5 ∫ 1 1dx ist für α ≥ 1 divergent und für α < 1 konvergent. Im letzten0 x αFall ist dieses Integral gleich 1Beispiel 6 ∫ 101−α .lnxdx konvergiert und hat den Wert −1.( ∫ )−ε 1dx+∫ 1 1dx = 0.−1 x ε xBeispiel 7 V.P. ∫ 1 1dx = lim −1 x ε↘08.11 FlächeninhalteEines der Motive zur Einführung des bestimmten Integrals war der Wunsch,Flächeninhalte zu definieren und zu berechnen. Ist f : [a,b] → [0,∞) Riemannintegrierbar,so definieren wir als Flächeninhalt der Mengedie Zahl F(M) := ∫ ba f(x)dx.✻M := {(x,y ∈ R 2 : 0 ≤ y ≤ f(x), a ≤ x ≤ b}... . .. .. . . . ... . . . . .. .. . . . . . .. .. . . . . . . .. . . ... . . . . . . . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 a b.f.F(M)Mit dieser Definition lassen sich auch die Inhalte komplizierter Mengen definierenund berechnen, wenn man akzeptiert, dass der Flächeninhalt die folgenden (ausunserer Erfahrung heraus plausiblen) Eigenschaften aufweist:(a) Geht M ′ aus M durch Verschiebung, Drehung oder Spiegelung an einerGeraden hervor, so ist F(M ′ ) = F(M).(b) Kann man M in zwei sich nicht überlappende Teilmengen A,B zerlegen,von denen jede einen Flächeninhalt besitzt, so ist F(M) = F(A)+F(B).DiezweiteForderungistsehrungenau(mansollteetwasüberA∩B voraussetzen).Darauf kommen wir später zurück.✲152