Analysis II für Mathematiker

Dann existiert genau ein x mit ‖x‖ ≤ r und f(x) = y. Zu zeigen ist, dass sogar‖x‖ < r. Für beliebige Punkte x 1 ,x 2 ∈ U r (0) ist‖x 1 −x 2 ‖ = ‖g(x 1 )+f(x 1 )−g(x 2 )−f(x 2 )‖≤ ‖g(x 1 )−g(x 2 )‖+‖f(x 1 )−f(x 2 )‖≤ 1 2 ‖x 1 −x 2 ‖+‖f(x 1 )−f(x 2 )‖,also‖x 1 −x 2 ‖ ≤ 2‖f(x 1 )−f(x 2 )‖. (12.8)Wir setzen hierin x 2 = 0 und x 1 = x mit f(x) = y und ‖y‖ < r/2. Dann folgt‖x‖ ≤ 2‖y‖ < r, also x ∈ U 1 und y ∈ V 1 . Schreiben wir noch in (12.8) x 1 = ϕ(y 1 )und x 2 = ϕ(y 2 ), so erhalten wiralso die Stetigkeit von ϕ.‖ϕ(y 1 )−ϕ(y 2 )‖ ≤ 2‖y 1 −y 2 ‖ ∀y 1 ,y 2 ∈ V 1 , (12.9)Weiter ist f ′ (x) für alle x ∈ U 1 invertierbar. Für x ∈ U 1 ist nämlich‖f ′ (x)−I‖ = ‖g ′ (x)‖ ≤ 1/2,unddieInvertierbarkeitvonf ′ (x)folgtwieamEndevonAbschnitt12.1(Neumann-Reihe).Es verbleibt zu zeigen, dass ϕ stetig differenzierbar ist. Wir zeigen zunächst dieDifferenzierbarkeit von ϕ. Sei y ∈ V 1 und l so, dass y + l ∈ V 1 . Wir setzenx = ϕ(y) und x+h = ϕ(y +l), wobei h = ϕ(y +l)−ϕ(y) von l abhängt. Da fin x differenzierbar ist, haben wirHieraus folgtf(x+h)−f(x) = f ′ (x)h+r(h) mit limh→0r(h)‖h‖ = 0.ϕ(y +l)−ϕ(y) = (x+h)−x = h= ( f ′ (x) ) −1(f(x+h)−f(x)−r(h))= ( f ′ (ϕ(y)) ) −1l−(f ′ (x) ) −1r(h),und die Differenzierbarkeit von ϕ in y folgt, wenn wir gezeigt haben, dasslim l→0r(h(l))‖l‖= 0. Nun istr(h(l))‖l‖= r(h(l))‖h(l)‖‖h(l)‖‖l‖(12.10)232