Analysis II für Mathematiker

4. Die Neilsche Parabel γ : R → R 2 , t ↦→ (t 2 ,t 3 ) ist überall differenzierbar, obwohldie zugehörige Kurve eine Spitze in 0 hat.5. Eine Schraubenlinie im R 3 läßt sich durch den Weg γ : R → R 3 , t ↦→(cost, sint, t) T beschreiben.6. Jede stetige Funktion f : [a,b] → R definiert einen Weg γ : [a,b] → R 2 ,t ↦→ ( t,f(t) ) . Die zugehörige Kurve ist der Graph der Funktion.Wie das erste dieser Beispiele zeigt, kann ein Weg Teile einer Kurve mehrfachdurchlaufen. Will man dies ausschließen, muss man verlangen, dass je zwei Punktent 1 ,t 2 ∈ [a,b] mit t 1 ≠ t 2 unterschiedliche Punkte γ(t 1 ), γ(t 2 ) entsprechen.Da wir auch geschlossene Wege betrachten wollen (d.h. solche mit γ(a) = γ(b)),schließen wir Anfangs- und Endpunkt von dieser Forderung aus.Definition 11.1 Ein Weg γ : [a,b] → R n heißt Jordanweg, wenn für beliebigePunkte s,t ∈ [a,b] mit s < t und γ(s) = γ(t) folgt: s = a, t = b. Eine Kurveheißt Jordankurve, wenn sie durch einen Jordanweg beschrieben werden kann.Mit möglicher Ausnahme ihrer Endpunkte sind Jordankurven also doppelpunktfrei.Die oben betrachteten Beispiele haben diese Eigenschaft. Kurven (oder Wege)sind wesentlich kompliziertere Objekte als es unsere Anschauung erwartenläßt. Sogibt es Kurven,die ein Quadrat im R 2 komplett ausfüllen (Peano-Kurve),und Kurven, die in keinem Punkt eine Tangente besitzen (Koch’sche Schneeflocke).Umso bemerkenswerter ist der folgende Satz, der unserer Anschauungperfekt entspricht, dessen Beweis jedoch außerordentlich schwierig ist.Satz 11.2 (Jordanscher Kurvensatz) Jede geschlossene Jordankurve Γ ⊆ R 2zerlegt den R 2 in zwei Gebiete G 1 ,G 2 , die von ihr berandet werden (d.h. R 2 =G 1 ∪ Γ ∪ G 2 , ∂G 1 = ∂G 2 = Γ). Genau eines dieser Gebiete – es heißt dasInnengebiet von Γ – ist beschränkt.11.2 Rektifizierbare Wege und BogenlängeWir wollen nun die Länge eines Wegesγ : [a,b] → R n definieren und berechnen.Sei Z := {t 0 ,...,t m } mit a =t 0 < t 1 < ... < t m = b eine Zerlegungvon [a,b]. Wir verbinden für jedesi die Punkte γ(t i ) und γ(t i+1 ) durch eineStrecke und erhalten einen Polygonzugder LängeL(Z,γ) :=m−1∑i=0γ(t 1 )γ(a) = γ(t 0 )‖γ(t i+1 )−γ(t i )‖ 2 .γ(t 2 )γ(b) = γ(t 3 )210