Analysis II für Mathematiker

den Punkt ˆx und noch unendlich viele der Punkte x i enthält. Der Einfachheit halbernehmen wir wieder an, dass alle x i in I m liegen.Für alle Teilintervalle I k ≠ I m von Z wählen wir irgendwelche Zwischenpunkteξ k und setzenS ′ := ∑ f(ξ k )|I k |.k≠mIst nun eine beliebig große Zahl G vorgegeben, so können wir wegen lim i→∞ f(x i )= +∞ als Zwischenpunkt ξ m ∈ I m einen der Punkte x i so wählen, dassf(ξ m ) > (G−S ′ )/|I m | bzw. S(Z,ξ,f) = S ′ +f(ξ m )|I m | > G.Es lässt sich also eine Riemann–Folge (S(Z n ,ξ (n) ,f)) ∞ n=1 konstruieren, welchebestimmt gegen +∞ divergiert. Dann kann f nicht Riemann–integrierbar sein.8.2 Darbouxsche IntegraleWirbetrachteneinenweiterenZugangzumRiemann–Integral.FürjedeZerlegungZ von [a,b] und jede beschränkte Funktion f : [a,b] → R seiund wir nennenU(Z,f) :=m i := infx∈I if(x), M i := supx∈I if(x),∑n−1i=0die zugehörige Unter– bzw. Obersumme.m i ∆x i bzw. O(Z,f) :=Lemma 8.5 Sei f : [a,b] → R beschränkt.∑n−1i=0M i ∆x i(a) Für jede Zerlegung Z von [a,b] und jede Verfeinerung Z ′ von Z giltU(Z,f) ≤ U(Z ′ ,f), O(Z ′ ,f) ≤ O(Z,f).(b) Für je zwei Zerlegungen Z 1 ,Z 2 von [a,b] gilt U(Z 1 ,f) ≤ O(Z 2 ,f).Beweis (a) Wir zeigen nur die erste Behauptung, und diese nur für den Fall,dass Z ′ genau einen Punkt x ∗ mehr enthält als Z. Unterscheiden sich Z und Z ′um p > 1 Punkte, muss diese Überlegung p mal angewandt werden.Sei Z = (x 0 ,...,x n ) und x j < x ∗ < x j+1 . Fürm ′ j := inf f(x) und m′′x∈[x j ,x ∗ j := inf f(x)] x∈[x ∗ ,x j+1 ]127