Analysis II für Mathematiker

Satz 10.7 (H.A. Schwarz) Sei U ⊆ R n offen, f : U → R und x ∗ ∈ U. Allepartiellen Ableitungen erster Ordnung von f sollen auf U existieren. Weiter existieredie zweite Ableitung2 f ∂∂x i ∂x jauf U, und diese sei in x ∗ stetig. Dann existiertauch ∂2 f∂x j ∂x iin x ∗ , und es gilt∂ 2 f(x ∗ ) = ∂2 f(x ∗ ).∂x i ∂x j ∂x j ∂x iBeweis Wir beschränken uns auf den Fall n = 2, schreiben (x,y) statt (x 1 ,x 2 )und setzen voraus, dass ∂2 fauf U existiert und in ∂y∂x x∗ stetig ist. Weiter nehmenwir an, dass (0,0) ∈ U und x ∗ = (0,0) (andernfalls verschieben wir U geeignet).Schließlich wählen wir δ > 0 so, dass (−δ,δ)×(−δ,δ) ⊆ U und arbeiten im weiterenausschließlich auf diesem Quadrat. Wir beginnen mit einer Vorüberlegung.Seien h,k ∈ (−δ,δ)\{0} fixiert. Der Mittelwertsatz, angewandt auf die FunktionF : (−δ,δ) → R, s ↦→ f(s,k)−f(s,0)liefert die Existenz eines ξ = ξ(h,k) zwischen 0 und h so, dass( ∂fF(h)−F(0) = hF ′ ∂f)(ξ) = h (ξ,k)−∂x ∂x (ξ,0) .Erneute Anwendung des Mittelwertsatzes, nun auf die FunktionG : (−δ,δ) → R, t ↦→ ∂f∂x (ξ,t),liefert die Existenz eines η = η(h,k) zwischen 0 und k so, dassEs ist also∂f ∂f(ξ,k)−∂x ∂x (ξ,0) = G(k)−G(0) = kG′ (η) = k ∂2 f∂y∂x (ξ,η).F(h)−F(0) = f(h,k)−f(h,0)−f(0,k)+f(0,0) = hk ∂2 f∂y∂x (ξ,η)mit gewissen ξ = ξ(h,k), η = η(h,k). Damit wirdf y (h,0)−f y (0,0)hf(h,k)−f(h,0)−f(0,k)+f(0,0)= limk→0 hk∂ 2 f= lim (ξ,η) (10.9)k→0 ∂y∂xmit gewissen Zahlen ξ,η, die von h und k abhängen und für die |ξ| ≤ |h| und|η| ≤ |k|. Für jedes fixierte h existiert also der Grenzwert (10.9). Außerdem186