Analysis II für Mathematiker

DadieReihe ∑ a n absolutkonvergiert,konvergiertdieseFourierreihegleichmäßig(Satz 9.20). Es ist aber im Moment nicht klar, ob die Summe dieser trigonometrischenReihe etwas mit den Werten von f zu tun hat.Der folgende Satz 9.22 wird aber zeigen, dass tatsächlichf(x) = 4 (cosx+ cos3x + cos5x )+...π 3 2 5 2für alle x ∈ R ist. Hieraus folgt z.B. die bemerkenswerte Identitätindem man in (9.14) x = 0 setzt.11 + 1 2 3 + 1 2 5 + 1 π2+... = 2 72 8 ,(9.14)Beispiel 2 Die 2π–periodische Funktion f : R → R sei erklärt durch.✻. π..f(x) ={x für x ∈ (−π,π)0 für x = π... −π π 3π✲−π. . .Sie ist unstetig in allen Punkten x = (2k + 1)π mit k ∈ Z. Da f ungerade ist,sind alle a n = 0. Für die b n erhalten wirb n = 1 π∫ π−πxsinnxdx = 2 (−1)n+1n(wegen der 2π–Periodizität von f ist es egal, über welches Integral der Länge 2πman integriert). Die Fourierreihe von f lautet also2 ( sinx− sin2x2+ sin3x3−... ) .Es ist weder unmittelbar klar, ob diese Reihe für x ≠ 0 überhaupt konvergiert,noch ob ihre Grenzfunktion mit f übereinstimmt.9.6.4 Punktweise und gleichmäßige Konvergenz von FourierreihenDie zentrale Frage ist also: konvergiert die Fourierreihe einer 2π–periodischenFunktion f in irgendeinem Sinn (punktweise, gleichmäßig, ...), und wenn ja,stimmt ihre Grenzfunktion dann mit f überein?Einfache Überlegungen zeigen, dass in der Regel nicht einmal punktweise Konvergenzvorliegen kann: zwei Funktionen f und g, die sich nur in endlich vielen173