Analysis II für Mathematiker

Oberfläche). Die genauen Voraussetzungen geben wir später an. In jedem Randpunkthaben wir zwei Normaleneinheitsvektoren: einen, der in den Körper hineinzeigt(die sogenannte innere Normale) und einen, der von G weg zeigt (dieäußere Normale). Es sei N : ∂G → R 3 das Vektorfeld der äußeren Einheitsnormalen.Weiter sei V das Geschwindigkeitsfeld einer inkompressiblen Flüssigkeit.Nach Abschnitt 14.2 (Interpretation des Flächeninhalts 2. Art) ist der Durchflußdurch ∂G in Richtung der äußeren Normalen (also das, was aus G herausfließt),gleich∫∫V ·N dσ. (14.13)∂GDie durch Quellen und Senken in G hervorgebrachte Flüssigkeitsmenge erhaltenwir dagegen durch Aufintegrieren der Quellendichte über G:∫∫∫(divV)(x)dx. (14.14)GNach dem Gaußschen Integralsatz sind die Integrale (14.13) und (14.14) gleich.Nun zur exakten Formulierung.Definition 14.7 a) Eine Menge G ⊆ R 3 heißt C 1 -Normalbereich bzgl. derx 1 x 2 -Ebene, wenn es eine kompakte Menge K ⊆ R 2 und stetig differenzierbareFunktionen ϕ 1 ,ϕ 2 : K → R so gibt, dass{}G = (x 1 ,x 2 ,x 3 ) ∈ R 3 : (x 1 ,x 2 ) ∈ K, ϕ 1 (x 1 ,x 2 ) ≤ x 3 ≤ ϕ 2 (x 1 ,x 2 )gilt und dass der Rand ∂K durch einen stückweise stetig differenzierbarenWeg darstellbar ist. Analog erklärt man C 1 -Normalbereiche bezüglich derx 2 x 3 - und x 1 x 3 -Ebene.b) Die Menge G heißt ein C 1 -Normalbereich, wenn sie ein C 1 -Normalbereichbezüglich der x 1 x 2 -, der x 2 x 3 - und der x 1 x 3 -Ebene ist.(Es sei noch einmal an unsere Vereinbarung erinnert: Eine Funktion f : K → RaufeinerkompaktenMengeK heißtstetigdifferenzierbar,wennsiezueinerstetigdifferenzierbaren Funktion auf einer offenen Menge G ⊇ K fortgesetzt werdenkann.)Einen C 1 -Normalbereich bzgl. der x 1 x 2 -Ebene kann man sich so vorstellen:283