Analysis II für Mathematiker

Kurz gesagt: Der Wirbelfluß durch eine geschlossene Fläche ist Null.Zum Beweis schneidet man einfach aus ∂B ein kleines geeignetes FlächenstückF heraus. Auf der verbleibenden Fläche ist nach Stokes∫∫ ∫rotH ·N dσ = H ·dX.∂B\FZieht man F auf einen Punkt zusammen, so geht das Integral auf der rechtenSeite gegen Null, da die Weglänge von ∂F gegen Null stebt.14.7 Einige weitere Differential- und Integralformeln14.7.1 Der Nabla-OperatorDer symbolische Vektor ∇ = ( ∂∂x , ∂∂y , ∂ ∂z)heißt Nabla-Operator. Formal rechnetman mit ihm wie mit einem Vektor aus R 3 . In diesem Sinne ist also für stetigdifferenzierbare Vektorfelder V und Skalarfelder ϕ∂F∇ϕ = gradϕ∇·F = divF∇×F = rotF.Ist das Skalarfeld ϕ zweimal stetig differenzierbar, so erhält man(∇·∇)ϕ = ∇·gradϕ = ϕ xx +ϕ yy +ϕ zz .Der Operatorheißt Laplace-Operator.∆ := ∇·∇ = ∂2∂x 2 + ∂2∂y 2 + ∂2∂z 214.7.2 Mehrfache Anwendungen der DifferentialoperatorenDas Vektorfeld F und das Skalarfeld ϕ seien zweimal stetig differenzierbar. DanngiltdivrotF = 0, (14.29)rotgradϕ = 0, (14.30)divgradϕ = ∆ϕ. (14.31)Man rechnet dies mit dem Satz von Schwarz leicht nach. Die ersten beiden Formelnbesagen: Wirbelfelder sind divergenzfrei und Gradientenfelder sind wirbelfrei.296