Analysis II für Mathematiker

vQ iF∆v i000 1100 1100 1100 11∆u iuF000 111000 111000 111000 111000 111F(Q i )Ist die Rechteckzerlegung von D fein genug, so haben die Maschen nahezu dieGestalt eines Parallelogramms. Ist Q i ein Teilrechteck in D mit den Seitenlängen∆u i und ∆v i und ist (u i ,v i ) der linke untere Eckpunkt von Q i , so ist die MascheF(Q i ) ungefähr gleich dem Parallelogramm, das von den VektorenF(u i +∆u i ,v i )−F(u i ,v i ) und F(u i ,v i +∆v i )−F(u i ,v i )aufgespannt wird. Diese Vektoren sind nach Definition der partiellen Ableitungenungefähr gleichF u (u i ,v i )∆u i und F v (u i ,v i )∆v i .Diese beiden Vektoren spannen ein Parallelogramm auf, dessen Flächeninhaltgleich der Länge des Vektorprodukts dieser Vektoren ist, also gleich der Längevon∆σ i := ( F u (u i ,v i )×F v (u i ,v i ) ) ∆u i ∆v i .Man kann daher ‖∆σ i ‖ als ungefähren Flächeninhalt der Masche F(Q i ) ansehenundm∑ m∑‖∆σ i ‖ = ‖F u (u i ,v i )×F v (u i ,v i )‖ ∆u i ∆v i (14.7)i=1i=1als Näherung für den Flächeninhalt des Flächenstückes F. Ist D kein Rechteck,so schöpfen wir D von innen durch rechteckzerlegte Bereiche aus. Lassen wir aufder rechten Seite von (14.7) die Zerlegung immer feiner werden, d.h. lassen wirmax i {∆u i ,∆v i } gegen 0 streben, so gelangen wir zum Integral∫∫‖F u (u,v)×F v (u,v)‖d(u,v).DUm sicherzustellen, dass dies tatsächlich dem Flächeninhalt von F entspricht,müssen wir noch (ähnlich wie bei Kurven) garantieren, dass nicht Teile desFlächenstücks mehrfach durchlaufen werden.Definition 14.3 Die Parameterdarstellung F : D → R 3 und das durch sie definierteFlächenstück heißen doppelpunktfrei, wenn F auf D eineindeutig ist.277